Toán học - Lượng giác

Lượng giác
Phần 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau	b) Hai cung bù nhau	c) Hai cung khác nhau 2
d) Hai cung khác nhau 	e) Hai cung phụ nhau	
B. Bài tập
1. Tìm các giá trị của để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) 	b) 
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
r) 
s) 
t) 
4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a) 	c) 
b) 	d) 
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 
6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng : .
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC. 
a) Cho . Chứng minh .
b) đều.
c) Chứng minh: 
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:
a) 
b) 
2. Rút gọn các biểu thức:
a) 
b) 
c) 
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a) 	b) 
c) 	d) 
4. a) Cho , chứng minh: và .
b) Cho , chứng minh: và 
c) Cho . Chứngminh: .
d) Cho , . Tìm a + b.
e) Cho và . Tìm a + b.
f) Cho , . Tìm a - b.
g) Cho , , . Chứng minh a + b + c = 45o.
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: hoặc và hoặc .
6. Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân: 
a) 	b) 
c) 	d) 
II. Công thức nhân đôi nhân ba.
A. Lý thuyết cần nhớ
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau: 
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
i) 	j) 
k) 	l) 
m) 
n) 	o) 
2. Chứng minh: 
a). Áp dụng với .
b) 
c) 
d) 
e) . Tính: 
f)
g) . Chứng minh: .
3. a) Cho . Tìm , , .
b) Cho . Tìm , , .
c) Cho . Tìm , , .
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
a) 	b) 	c) 
III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo .
A. Lý thuyết cần nhớ
B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 
h) 
i) 
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
3. Tìm giá trị biểu thức
a) biết 	b) Biết 
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a) 	b) 
c) 
IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
a) 
b) 	c) 
d) 	e) 
f) 	g) 
h) 	
i) 
j) 	k) 
2. Chứng minh:
a) 
b) 
c) 
d) 
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
4. Chứng minh bất đẳng thức:	 với .
5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) với 
b) 
c) 
d) 
7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: 
8. Chứng minh nếu các góc của thoả mãn: thì nó là tam giác đều.
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của thoả mãn hệ thức: thì tam giác đó là tam giác vuông.
10. Cho tam giác ABC và . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
Phần 3: Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Phương trình: 	2. Phương trình: 
2. Phương trình: 	4. Phương trình: 
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a) 	b) sin(3x - 2) = -1	c) 	
d) cos(3x - 15o) = cos150o	e) tan(2x + 3) = 	f) cot(45o - x) = 
g) sin3x - cos2x = 0 	h) 	i) 
j) 	k) cos2x = cosx	l) 
m) 	n) 	o) 
p) 	q) 	r) 
s) 	t) 	u) 
v) 	w) 	x) 
y) 	z) 
II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
A. Lý thuyết cần nhớ
Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t.
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	 
2. Giải các phương trình lượng giác:
a) 	b) 
c) 	d) 
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: 
Điều kiện để phương trình có nghiệm: .
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho rồi đặt: ; .
Đưa phương trình về dạng: . Giải ra tìm được x.
B. Bài tập
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
2. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
3. Tìm các giá trị của thoả mãn phương trình sau với mọi m:
4. Tìm các giá trị của để phương trình: 
a) có nghiệm x = 1.
b) có nghiệm x = .
5. Giải phương trình: 
a) .
b) 
c) 
IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: 
- Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm.
- Nếu . Chia cả 2 vế của phương trình cho rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx: .
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
f) 
2. Giải các phương trình sau: 
a) 	
b) 
3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
	. Chứng minh tam giác ABC vuông cân.
V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: .
Cách giải: Đặt , ta có: . . Thay vào phương trình rồi giải ra t.
B. Bài tập
1. Giải phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác
1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 
e) 	f) 
g) (Biện luận theo m).
h) 	i) 
j) 	k) 
l) 	m) 
n) 	o) 
p) 	q) 
r) 	s) 
t) 	u) 
v) 	w) 
x) 	y) 
z) 
2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 
e) 	f) 
g) . Tìm các nghiệm thuộc khoảng 
h) 	i) 
j) 	k) 
l) 	m) 
n) 	o) 
p) 	q) 
r) 	 s) 
t) 	u) 
v) 	w) 
x) 	y) 	
z) 
3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
i) 	j) 	
k) 	l) 
m) 	n) 
o) 	p) 
q) 	r) 
s) 	t) 
u) 
v) 	
w) 	x) 
y) 	z) 	
4. Giải các phương trình sau: 
a) 	b) 
c) 
d) 	e) 
f) 	g) 
h) 	i) 
j) 	k) 
l) 	m) 
n) 	o) 
p) 	q) 
r) 
s) 	t) 
u) 	v) 
w) 	x) 
y) 	z) 
5. Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
i) 	j) 
k) 	l) 
m) 	n) 
VII. Hệ phương trình lượng giác	
1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 
VIII. Các dạng bài tập khác
1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình thoả mãn .
2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số .
3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn:. Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.
4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:. Chứng minh rằng số đo của góc C là 120o.
5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:.
6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT: .
7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:
8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: thì tam giác đó là tam giác vuông.
9. Chứng minh rằng trong tam giác có: thì tam giác đó vuông hoặc cân.
10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: trên .
11. Cho phương trình: 
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Khi và , phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn .
12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: .
13. Cho tam giác ABC có: . Chứng minh rằng: .
14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: .
15. Tìm các giá trị sao cho .
16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm : .
17. Cho tam giác ABC. Chứng minh: .
18. Chứng minh với thì: .
19. Cho tam giác ABC thoả mãn: . Chứng minh tam giác ABC đều.
20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: .
21. Giải phương trình sau: .
22. Cho tam giác ABC thoả mãn: . Chứng minh tam giác ABC vuông.
23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: .
24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi .
25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: thì tam giác ABC cân.
26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: .
27. Cho . Tính .
28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: .
29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: .
30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong : .
31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
32. Với giá trị nào của a thì phương trình: có nghiệm duy nhất.
33. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng .
34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn: .
35. Cho tam giác ABC thoả mãn:. Chứng minh tam giác ABC cân.
36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi .
37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn thì tam giác ABC vuông.
38. Cho phương trình: .
a) Giải phương trình với .
b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm.
39. Giải và biện luận phương trình: .
40. Cho phương trình: .
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn.
41. Chứng minh rằng ta có: 
42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: .
43. Chứng minh rằng nếu theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì .
44. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: với .
45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn thì nó cân.
46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x: .