Toán học - Luận văn Dãy fibonacci, dãy lucas và các ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Vũ Nhật Cương
DÃY FIBONACCI, DÃY LUCAS
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc
Thái Nguyên - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc
Phản biện 1: TS. Nguyễn Văn Minh - Trường Đại học Kinh tế và
Quản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên.
Phản biện 2: PGS. TS. Tạ Duy Phượng - Viện Toán học - Viện
Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
Ngày 01 tháng 9 năm 2012
Có thể tìm hiểu tại
Thư Viện Đại Học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
1Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ
bản 6
1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Định nghĩa dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Số Fibonacci với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Số Lucas với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas . . . . 10
1.3.1. Tỷ số vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas 11
1.4. Một số hệ thức của dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . 12
1.4.1. Các hệ thức về tổng hữu hạn . . . . . . . . . . . 12
1.4.2. Các hệ thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3. Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas 25
Chương 2. Các tính chất số học của dãy Fibonacci và dãy
Lucas 32
2.1. Các tính chất số học của dãy Fibonacci . . . . . . . . . . 32
2.2. Các tính chất số học của dãy Lucas . . . . . . . . . . . 47
2.3. Tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci với dãy Lucas 49
Chương 3. Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các
ứng dụng 51
3.1. Dãy Fibonacci với toán học . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1. Dãy Fibonacci và tam giác Pascal . . . . . . . . . 51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
23.1.2. Dãy Fibonacci và hệ nhị phân . . . . . . . . . . . 53
3.1.3. Dãy Fibonacci và tam giác vuông . . . . . . . . . 53
3.1.4. Dãy Fibonacci và hình học . . . . . . . . . . . . . 54
3.2. Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên . . . . . . . . . . 57
3.3. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” với ứng dụng . . . . . . . 69
3.3.1. Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính . . . . . 69
3.3.2. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong thiết kế . . . 72
3.3.3. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong kiến trúc . . 75
3.3.4. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong nghệ thuật . 77
3.3.5. Các ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
3Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài luận văn
Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170
–1250), còn được biết đến với tên Leonardo
của Pisa, hay phổ biến nhất dưới cái tên
Fibonacci, là một nhà toán học người Ý và
ông được một số người xem là “nhà toán
học tài ba nhất thời Trung Cổ”. Fibonacci
nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công
lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện
đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn Sách Liber Abaci - Sách về
Toán đố năm 1202.
Dãy Fibonacci là một trong những vẻ đẹp của kho tàng Toán học.
Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với rất nhiều
tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng. Nói đến dãy Fibonacci không thể
không nói đến dãy Lucas, bởi chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci.
Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci “một
phần là từ Pingala (200 BC), sau đó được kết hợp với Virahanka (khoảng
700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)”. Sau Fibonacci,
còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãy Fibonacci như: Cassini
(1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857
- 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), ... và rất nhiều tính chất của dãy đã
được mang tên các nhà Khoa học này. Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt
về dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều và còn tản
mạn. Cần thiết phải giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng
một cách đầy đủ và hợp nhất hơn.
Vì vậy, việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
4các ứng dụng là rất cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học và
sự hiểu biết của con người. Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas
và các ứng dụng” được tiến hành vào cuối năm 2011 chủ yếu dựa trên
các tài liệu tham khảo.
2. Mục đích của đề tài luận văn
Học tập và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas cùng với các tính
chất cơ bản, các tính chất số học cũng như các tính chất liên hệ giữa
chúng. Đặc biệt, giúp mọi người nắm được những ứng dụng quan trọng
và sự xuất hiện đa dạng của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên.
3. Bố cục của luận văn
Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng” gồm
có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản.
Trong chương này, trình bày định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas,
số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, công thức tổng quát của số
Fibonacci và số Lucas. Một số hệ thức của dãy Fibonacci, dãy Lucas và
các hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas. Khác với nhiều tài
liệu tham khảo, bản luận văn này giới thiệu cách chứng minh đơn giản
các tính chất về tổng hữu hạn của dãy Fibonacci và dãy Lucas. Trong
đó, số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, chứng minh các tính chất cơ
bản của dãy Lucas là sự tìm tòi, suy nghĩ của tác giả.
Chương 2 . Các tính chất số học của số Fibonacci và số Lucas.
Trong chương này, trình bày một số tính chất số học của dãy Fi-
bonacci, dãy Lucas và tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci và
dãy Lucas.
Chương 3 . Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các
ứng dụng.
Trong chương này, trình bày mối liên hệ của dãy Fibonacci với toán
học, sự xuất hiện của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và một
số ứng dụng quan trọng của dãy Fibonacci.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
5Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
TS. Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội. Từ đáy lòng mình, em
xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và
sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.
Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Trường Đại Học Khoa
Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa
Học. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K4
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã động viên, giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Tuyên Quang,
Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Nam - Huyện Sơn
Dương- Tỉnh Tuyên Quang đã tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt để tham
gia học tập và hoàn thành khóa học.
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn
thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi
những thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của
các Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 08 tháng 9 năm 2012
Tác giả
Vũ Nhật Cương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
6Chương 1
Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các
tính chất cơ bản
Các kí hiệu
Các số Fibonacci: Fn, n = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Các số Lucas: Ln, n = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Tỷ số vàng: ϕ.
Phần nguyên của số a: bac.
1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas
1.1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci
Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sách
Liber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo của Pisa - được biết đến với
tên Fibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong toán
học Ấn Độ. Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lý
tưởng hóa, giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cái
trong một cánh đồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tới
hai tháng tuổi, một thỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, các
con thỏ này không bao giờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ra
một cặp mới (một đực, một cái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi. Câu
đố mà Fibonacci đặt ra là: Trong một năm có bao nhiêu cặp thỏ?
• Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp.
• Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới, vì vậy bây giờ có
1 + 1 = 2 (cặp) thỏ trong cánh đồng.
• Vào cuối tháng thứ ba, thỏ cái ban đầu lại tạo ra một cặp thỏ nữa,
biến số lượng thỏ trong cánh đồng lúc này là 2 + 1 = 3 (cặp).
• Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ cái ban đầu đã sinh thêm một cặp mới,
thỏ cái sinh ra cách đây hai tháng cũng cho ra một cặp đầu tiên, tổng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
7số lúc này là 3 + 2 = 5 (cặp).
Vào cuối tháng thứ n, số lượng các cặp thỏ bằng số lượng các cặp mới
(bằng số lượng các cặp trong tháng (n− 2)) cộng với số cặp trong tháng
(n− 1). Đây là số Fibonacci thứ n.
Theo từng thế hệ, số lượng cặp thỏ là một dãy các con số sau này
được biết với tên số Fibonacci.
Tên gọi “dãy Fibonacci” lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 19 bởi
nhà toán học Édouard Lucas.
Định nghĩa 1.1.1. Dãy {Fn} các con số Fibonacci được định nghĩa bởi
hệ thức truy hồi sau:
Fn = Fn−1 + Fn−2, n ≥ 2, (1.1)
với các giá trị ban đầu
F0 = 0, F1 = 1.
Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
81.1.2. Định nghĩa dãy Lucas
Dãy Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học
Franc¸ois Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy
Fibonacci và dãy thuộc họ Fibonacci mà mỗi số trong dãy bằng tổng
của hai số liền trước nó.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy {Ln} các con số Lucas được định nghĩa bởi hệ
thức truy hồi sau:
Ln = Ln−1 + Ln−2, n ≥ 2, (1.2)
với các giá trị ban đầu
L0 = 2, L1 = 1.
Theo định nghĩa, ta có dãy Lucas:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, ...
1.2. Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm
1.2.1. Số Fibonacci với chỉ số âm
Từ công thức truy hồi (1.1), ta có công thức
Fn−2 = Fn − Fn−1
để mở rộng các số Fibonacci với chỉ số âm.
Ta có
F−1 = F1−2 = F1 − F0 = 1− 0 = 1,
F−2 = F0−2 = F0 − F−1 = 0− 1 = −1,
F−3 = F−1 − F−2 = 1− (−1) = 2,
F−4 = F−2 − F−3 = −1− 2 = −3,
F−5 = F−3 − F−4 = 2− (−3) = 5,
F−6 = F−4 − F−5 = −3− 5 = −8,
F−7 = F−5 − F−6 = 5− (−8) = 13,
...
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
9Bằng phương pháp quy nạp, ta có
F−n = (−1)n+1 Fn.
Thật vậy, với n = 1 ta có
F−1 = 1 = (−1)1+1 F1.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n+ 1. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.1), ta có
F−(n+1) = F−(n−1) − F−n
= (−1)n Fn−1 − (−1)n+1 Fn
= (−1)n+2 Fn + (−1)n+2 F(n−1)
= (−1)n+2 (Fn + F(n−1))
= (−1)n+2 Fn+1.
Từ đó, suy ra
Bổ đề 1.2.1.
F−n = (−1)n+1 Fn. (1.3)
1.2.2. Số Lucas với chỉ số âm
Từ công thức truy hồi (1.2), ta có
Ln−2 = Ln − Ln−1
để mở rộng các số Lucas với chỉ số âm.
Ta có
L−1 = L1−2 = L1 − L0 = 1− 2 = −1,
L−2 = L0−2 = L0 − L−1 = 2 + 1 = 3,
L−3 = L−1 − L−2 = −1− 3 = −4,
L−4 = L−2 − L−3 = 3 + 4 = 7,
L−5 = L−3 − L−4 = −4− 7 = −11,
L−6 = L−4 − L−5 = 7 + 11 = 18,
L−7 = L−5 − L−6 = −11− 18 = −29,
...
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
10
Bằng phương pháp quy nạp, ta có
L−n = (−1)n Ln.
Thật vậy, với n = 1 ta có
L−1 = −1 = (−1)1 L1.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n+ 1. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.2), ta có
L−(n+1) = L−(n−1) − L−n
= (−1)n−1 Ln−1 − (−1)n Ln
= (−1)n+1 Ln + (−1)n+1 L(n−1)
= (−1)n+1 (Ln + L(n−1))
= (−1)n+1 Ln+1.
Từ đó, suy ra
Bổ đề 1.2.2.
L−n = (−1)n Ln. (1.4)
1.3. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas
1.3.1. Tỷ số vàng
Tỷ số vàng ϕ ( phi ) được định nghĩa
là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai
phần (a và b) sao cho tỷ số giữa cả hai
đoạn (a + b) với đoạn lớn hơn (a) bằng
tỷ số giữa đoạn lớn (a) và đoạn nhỏ (b).
ϕ =
a+ b
a
=
a
b
.
Ta quy độ dài đoạn thẳng a + b về đơn vị 1 và gọi độ dài đoạn lớn
là x (x > 0), lập tỷ số ta được phương trình
1
x
=
x
1− x,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
11
hay
x2 + x− 1 = 0.
Giải phương trình, ta được nghiệm dương
x =
−1 +√5
2
.
Do đó, ta có
ϕ =
1
x
=
1 +
√
5
2
≈ 1.6180339887... (1.5)
Tỷ số vàng ϕ còn được gọi là tỷ lệ vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh và nó
có mối liên hệ mật thiết với dãy Fibonacci, dãy Lucas.
1.3.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas
Cả các số Fibonacci và Lucas đều có công thức
an+2 := an + an+1, n > 0. (1.6)
Có được các số Fibonacci bằng cách thiết lập a0 = 0, a1 = 1 và các số
Lucas với a0 = 2, a1 = 1.
Từ công thức (1.6), ta có(
an+1
an
)
=
(
1 1
1 0
)(
an
an−1
)
⇒
(
an+1
an
)
=
(
1 1
1 0
)n(
a1
a0
)
.
Ta xét
A :=
(
1 1
1 0
)
,
χA (λ) = λ
2 − λ− 1.
⇒ A có các giá trị riêng
λ1 =
1 +
√
5
2
= ϕ, (1.7)
λ2 =
1−√5
2
= 1− ϕ = −ϕ−1. (1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
12
Từ đó, ta có công thức
A =
1√
5
(
ϕ −ϕ−1
1 1
)(
ϕ 0
1 −ϕ−1
)(
1 ϕ−1
−1 ϕ
)
.
Kết hợp với phương trình trên, ta được công thức(
an+1
an
)
=
1√
5
(
ϕ −ϕ−1
1 1
)( (
ϕ−1a0 + a1
)
ϕn
(ϕa0 − a1)(−ϕ−1)n
)
.
⇒ an = 1√
5
((
ϕ−1a0 + a1
)
ϕn + (ϕa0 − a1)(−ϕ−1)n
)
, n ≥ 0.
Đối với những con số Fibonacci với a0 = 0, a1 = 1, ta được công thức
sau
Bổ đề 1.3.1. (Binet,1843).
Fn :=
1√
5
(
ϕn − (−ϕ−1)n) . (1.9)
Chú ý 1.3.1.
Fn =
⌊
ϕn√
5
+
1
2
⌋
.
Fn+1 = ϕFn + (−ϕ−1)n,
∣∣−ϕ−1∣∣ < 1⇒ lim
n→∞
Fn+1
Fn
= ϕ.
Đối với những con số Lucas với a0 = 2, a1 = 1, ta được công thức sau
Bổ đề 1.3.2.
Ln := ϕ
n + (−ϕ−1)n. (1.10)
Chú ý 1.3.2.
ϕ−1 = ϕ− 1 =
√
5− 1
2
< 0, 62.
1.4. Một số hệ thức của dãy Fibonacci và dãy Lucas
1.4.1. Các hệ thức về tổng hữu hạn
Tính chất 1.4.1.
n∑
i=0
Fi = Fn+2 − 1. (1.11)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
13
Chứng minh. Ta có
F0 = F2 − F1,
F1 = F3 − F2,
F2 = F4 − F3,
F3 = F5 − F4,
...,
Fn−1 = Fn+1 − Fn,
Fn = Fn+2 − Fn+1.
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
F0 + F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = Fn+2 − F1,
hay
n∑
i=0
Fi = Fn+2 − 1.
Tính chất 1.4.2.
n∑
i=0
Li = Ln+2 − 1. (1.12)
Chứng minh. Ta có
L0 = L2 − L1,
L1 = L3 − L2,
L2 = L4 − L3,
L3 = L5 − L4,
...,
Ln−1 = Ln+1 − Ln,
Ln = Ln+2 − Ln+1.
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
L0 + L1 + L2 + L3 + ...+ Ln = Ln+2 − L1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
14
hay
n∑
i=0
Li = Ln+2 − 1.
Tính chất 1.4.3. i) Tổng các số Fibonacci với chỉ số lẻ
n−1∑
i=0
F2i+1 = F2n. (1.13)
ii) Tổng các số Fibonacci với chỉ số chẵn
n∑
i=0
F2i = F2n+1 − 1. (1.14)
Chứng minh. i) Ta có
F1 = F2,
F3 = F4 − F2,
F5 = F6 − F4,
...,
F2n−3 = F2n−2 − F2n−4,
F2n−1 = F2n − F2n−2.
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
n−1∑
i=0
F2i+1 = F2n.
ii) Từ (1.11), ta có đẳng thức
2n∑
i=0
Fi = F2n+2 − 1. (1.15)
Lấy đẳng thức (1.15) trừ đi đẳng thức (1.13) vế với vế, ta được
n∑
i=0
F2i = F2n+2 − 1− F2n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
15
Theo (1.1), ta được
n∑
i=0
F2i = F2n+1 − 1.
Hệ quả 1.4.1.
F1 − F2 + F3 − F4 + ...+ (−1)n+1Fn = (−1)n+1Fn−1 + 1. (1.16)
Tính chất 1.4.4. i) Tổng các số Lucas với chỉ số lẻ
n−1∑
i=0
L2i+1 = L2n − 2. (1.17)
ii) Tổng các số Lucas với chỉ số chẵn
n∑
i=0
L2i = L2n+1 + 1. (1.18)
Chứng minh. i) Ta có
L1 = L2 − L0,
L3 = L4 − L2,
L5 = L6 − L4,
...,
L2n−3 = L2n−2 − L2n−4,
L2n−1 = L2n − L2n−2.
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
n−1∑
i=0
L2i+1 = L2n − L0,
hay
n−1∑
i=0
L2i+1 = L2n − 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
16
ii) Từ (1.12), ta có đẳng thức
2n∑
i=0
Li = L2n+2 − 1. (1.19)
Lấy đẳng thức (1.19) trừ đi đẳng thức (1.17) vế với vế, ta được
n−1∑
i=0
L2i = L2n+2 − 1− (L2n − 2) ,
Theo (1.2), ta được
n∑
i=0
L2i = L2n+1 + 1.
Hệ quả 1.4.2.
L0 − L1 + L2 − L3 + ...+ (−1)nLn = (−1)nLn−1 + 3. (1.20)
Tính chất 1.4.5.
n∑
i=0
iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2. (1.21)
Chứng minh. Ta có
F0 + F1 + F2 + F3 + ...+ Fn−1 + Fn = Fn+2 − 1,
F0 + F1 + F2 + F3 + ...+ Fn−1 = Fn+1 − 1,
...,
F0 + F1 + F2 = F4 − 1,
F0 + F1 = F3 − 1,
F0 = F2 − 1.
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được
(n+ 1)F0+nF1+(n− 1)F2+...+2Fn−1+Fn = F2+F3+...+Fn+2−(n+ 1),
hay
(n+ 1)F0+nF1+(n− 1)F2+...+2Fn−1+Fn = F0+F1+...+Fn+2−(n+ 2).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
17
Theo (1.11) và (1.1), ta được
(n+ 1)F0 + nF1 + (n− 1)F2 + ...+ 2Fn−1 + Fn = Fn+4 − (n+ 3),
hay
(n+ 1)F0+ nF1+ (n− 1)F2+ ...+2Fn−1+Fn = Fn+2+Fn+3− (n+ 3).
Mặt khác, ta có
(n+ 1)F0+(n+ 1)F1+(n+ 1)F2+...+(n+ 1)Fn = (n+ 1)Fn+2−(n+ 1).
Từ đó, suy ra
n∑
i=0
iFi = (n+ 1)Fn+2 − (n+ 1)− (F2n+2 + Fn+3 − (n+ 3)),
hay
n∑
i=0
iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2.
Tính chất 1.4.6.
n∑
i=0
iLi = nLn+2 − Ln+3 + 4. (1.22)
Chứng minh. Ta có
L0 + L1 + L2 + L3 + ...+ Ln−1 + Ln = Ln+2 − 1,
L0 + L1 + L2 + L3 + ...+ Ln−1 = Ln+1 − 1,
...,
L0 + L1 + L2 = L4 − 1,
L0 + L1 = L3 − 1,
L0 = L2 − 1.
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được
(n+ 1)L0+nL1+(n− 1)L2+...+2Ln−1+Ln = L2+L3+...+Ln+2−(n+ 1),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
18
hay
(n+ 1)L0+nL1+(n− 1)L2+...+2Ln−1+Ln = L0+L1+...+Ln+2−(n+ 4).
Theo (1.12) và (1.2), ta được
(n+ 1)L0 + nL1 + (n− 1)L2 + ...+ 2Ln−1 + Ln = Ln+4 − (n+ 5),
hay
(n+ 1)L0+nL1+(n− 1)L2+ ...+2Ln−1+Ln = Ln+2+Ln+3− (n+ 5).
Mặt khác, ta có
(n+ 1)L0+(n+ 1)L1+(n+ 1)L2+...+(n+ 1)Ln = (n+ 1)Ln+2−(n+ 1).
Từ đó, suy ra
n∑
i=0
iLi = (n+ 1)Ln+2 − (n+ 1)− (Ln+2 + Ln+3 − (n+ 5)),
hay
n∑
i=0
iLi = nL2n+2 − Ln+3 + 4.
Tính chất 1.4.7.
n∑
i=0
F 2i = FnFn+1. (1.23)
Chứng minh. Từ (1.1), ta có
Fi = Fi+1 − Fi−1.
Suy ra
F 2i = Fi (Fi+1 − Fi−1) = FiFi+1 − Fi−1Fi.
Do đó, ta có
F 21 = F1F2,
F 22 = F2F3 − F1F2,
F 23 = F3F4 − F2F3,
...,
F 2n−1 = Fn−1Fn − Fn−2Fn−1,
F 2n = FnFn+1 − Fn−1Fn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
19
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được
n∑
i=0
F 2i = FnFn+1.
Tính chất 1.4.8.
n∑
i=0
L2i = LnLn+1 + 2 (1.24)
Chứng minh. Từ (1.2), ta có
Li = Li+1 − Li−1.
Suy ra
L2i = Li (Li+1 − Li−1) = LiLi+1 − Li−1Li
Do đó, ta có
L20 = L0L1 + 2,
L21 = L1L2 − L0L1,
L22 = L2L3 − L1L2,
L23 = L3L4 − L2L3,
...,
L2n−1 = Ln−1Ln − Ln−2Ln−1,
L2n = LnLn+1 − Ln−1Ln.
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được
n∑
i=0
L2i = LnLn+1 + 2.
1.4.2. Các hệ thức khác
Bổ đề 1.4.1. ( Tính chất Cassini ) Với n > 1, ta có
Fn−1Fn+1 − F 2n = (−1)n. (1.25)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
20
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp.
n = 2, ta có
F1F3 − F 22 = 1.2− 1 = 1 = (−1)2.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n+ 1. Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có
FnFn+2 − F 2n+1 = Fn(Fn + Fn+1)− (Fn + Fn−1)2
= F 2n + FnFn+1 − F 2n − 2FnFn−1 − F 2n−1
= FnFn+1 − 2FnFn−1 − F 2n−1
= Fn (Fn + Fn−1)− 2FnFn−1 − F 2n−1
= F 2n − FnFn−1 − F 2n−1
= F 2n − Fn−1 (Fn−1 + Fn)
= F 2n − Fn−1Fn+1
= −(−1)n = (−1)n+1.
Suy ra, điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.4.2. Với n ≥ 1, ta có
L2n − Ln−1Ln+1 = 5 (−1)n. (1.26)
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp.
n = 1, ta có
L21 − L0L2 = 12 − 2.3 = −5 = 5 (−1)1.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n+ 1. Thật vậy, theo (1.2) và giả thiết quy nạp, ta có
L2n+1 − LnLn+2 = L2n+1 − Ln(Ln + Ln+1)
= L2n+1 + L
2
n − LnLn+1
= −L2n + Ln+1 (Ln+1 − Fn)
= −L2n + Ln+1Ln−1
= − (L2n − Ln−1Ln+1)
= −5 (−1)n = 5 (−1)n+1.
Suy ra, điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
21
Bổ đề 1.4.3.
Fn+m = Fn−1Fm + FnFm+1. (1.27)
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp theo m.
m = 1, ta có
Fn+1 = Fn−1F1 + FnF2 = Fn−1 + Fn.
m = 2, ta có
Fn+2 = Fn−1F2 + FnF3 = Fn−1 + 2Fn = Fn+1 + Fn.
Giả sử, đẳng thức đúng với m > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
m+ 1. Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có
Fn+m+1 = Fn+m−1 + Fn+m
= Fn−1Fm−1 + FnFm + Fn−1Fm + FnFm+1
= Fn−1 (Fm−1 + Fm) + Fn (Fm + Fm+1)
= Fn−1Fm+1 + FnFm+2.
Suy ra, điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.4.4. ( Tính chất d’Ocagne )
FmFn+1 − Fm+1Fn = (−1)n Fm−n. (1.28)
Chứng minh. Theo (1.3) và (1.27), ta có
Fm−n = FmF−n−1 + Fm+1F−n
= Fm (−1)n+2 Fn+1 + Fm+1 (−1)n+1 Fn
= (−1)n (FmFn+1 − Fm+1Fn),
hay
FmFn+1 − Fm+1Fn = (−1)n Fm−n.
Định lý 1.4.1.
F2n = Fn (Fn−1 + Fn+1) . (1.29)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
22
Chứng minh. Theo (1.27) với m = n, ta có
F2n = Fn−1Fn + FnFn+1 = Fn (Fn−1 + Fn+1) .
Bổ đề 1.4.5.
F2n+1 = Fn
2 + Fn+1
2. (1.30)
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp.
n = 0, ta có
F1 = 1 = 0 + 1 = F0
2 + F1
2.
n = 1, ta có
F3 = 2 = 1 + 1 = F1
2 + F2
2.
n = 2, ta có
F5 = 5 = 1 + 4 = F2
2 + F3
2.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n+ 1. Thật vậy, theo (1.1), (1.29) và giả thiết quy nạp, ta có
F 2n+1 + F
2
n+2 = (Fn−1 + Fn)
2 + (Fn + Fn+1)
2
= F 2n−1 + 2Fn−1Fn + F
2
n + F
2
n + 2FnFn+1 + F
2
n+1
= F 2n−1 + F
2
n + 2Fn (Fn−1 + Fn+1) + F
2
n + F
2
n+1
= F2n−1 + 2F2n + F2n+1 = F2n+1 + F2n+2
= F2n+3.
Suy ra, điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.4.6. Với k ≥ 2, ta có
F2n+k = FkF
2
n+1 + 2Fk−1Fn+1Fn + Fk−2F
2
n . (1.31)
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp theo k.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
23
k = 2: Theo (1.29) và (1.1), ta có
F2F
2
n+1 + 2F2−1Fn+1Fn + F2−2F
2
n = F2F
2
n+1 + 2F1Fn+1Fn + F0F
2
n
= F 2n+1 + 2Fn+1Fn
= Fn+1 (Fn+1 + 2Fn)
= Fn+1 (Fn+2 + Fn)
= F2(n+1) = F2n+2.
Giả sử, đẳng thức đúng với k > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
k + 1. Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có
F2n+k+1 = F2n+k−1 + F2n+k
= Fk−1F 2n+1 + 2Fk−2Fn+1Fn + Fk−3F
2
n + FkF
2
n+1
+ 2Fk−1Fn+1Fn + Fk−2F 2n
= F 2n+1 (Fk−1 + Fk) + 2Fn+1Fn (Fk−2 + Fk−1) + F
2
n (Fk−3 + Fk−2)
= Fk+1F
2
n+1 + 2FkFn+1Fn + Fk−1F
2
n .
Suy ra, điều phải chứng minh.
Định lý 1.4.2. ( Tính chất Cassini ).
F3n = 2F
3
n + 3FnFn+1Fn−1 = 5F
3
n + 3(−1)nFn. (1.32)
Chứng minh. Theo (1.31) với k = n và (1.1), ta có
F3n = F2n+n = FnF
2
n+1 + 2Fn−1Fn+1Fn + Fn−2F
2
n
= Fn(Fn + Fn−1)
2 + 2Fn−1FnFn+1 + Fn−2F 2n
= F 3n + 2F
2
nFn−1 + FnF
2
n−1 + 2Fn−1FnFn+1 + Fn−2F
2
n
= F 3n + F
2
n (Fn − Fn−2) + F 2nFn−1 + FnF 2n−1 + 2Fn−1FnFn+1 + Fn−2F 2n
= 2F 3n + Fn−1Fn (Fn + Fn−1) + 2Fn−1FnFn+1
= 2F 3n + Fn−1FnFn+1 + 2Fn−1FnFn+1
= 2F 3n + 3Fn−1FnFn+1.
Theo (1.25), ta có
F 2n − Fn−1Fn+1 = (−1)n−1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
24
hay
Fn−1Fn+1 = F 2n + (−1)n−1.
Vậy
F3n = 2F
3
n + 3FnFn+1Fn−1 = 5F
3
n + 3(−1)nFn.
Định lý 1.4.3. Với m ≥ 2, ta có
Lmn+2n = LmnL2n − Lmn−2n. (1.33)
Chứng minh. Theo (1.10), ta có
Lmn.L2n − Lmn−2n =
(
ϕmn +
(−ϕ−1)mn) (ϕ2n + (−ϕ−1)2n)
−
(
ϕmn−2n +
(−ϕ−1)mn−2n)
= ϕmnϕ2n + ϕmn
(−ϕ−1)2n + (−ϕ−1)mnϕ2n
+
(−ϕ−1)mn(−ϕ−1)2n − ϕmn−2n − (−ϕ−1)mn−2n
= ϕmn+2n +
(−ϕ−1)mn+2n + ϕmn ((−ϕ−1)2n − ϕ−2n)
+
(−ϕ−1)mn (ϕ2n − (−ϕ−1)−2n)
= Lmn+2n + ϕ
mn
((−ϕ−1)2n − (ϕ−1)2n)
+
(−ϕ−1)mn (ϕ2n − (−ϕ)2n)
= Lmn+2n.
Định lý 1.4.4. Với n ≥ 1 và m ≥ 0, ta có
L4n+m − Lm = L2nL2n+m. (1.34)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
25
Chứng minh. Theo (1.10), ta có
L2nL2n+m =
(
ϕ2n +
(−ϕ−1)2n)(ϕ2n+m + (−ϕ−1)2n+m)
= ϕ4n+m +
(−ϕ−1)4n+m + ϕ2n(−ϕ−1)2n+m + (−ϕ−1)2nϕ2n+m
=
(
ϕ4n+m +
(−ϕ−1)4n+m)+ (ϕ)2n(−ϕ−1)2n (ϕm + (−ϕ−1)m)
= L4n+m +
(
ϕ
(−ϕ−1))2nLm
= L4n+m + (−1)2nLm
= L4n+m − Lm.
Ta được, điều phải chứng minh.
1.4.3. Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas
Định lý 1.4.5.
Fn =
1
5
(Ln+1 + Ln−1) . (1.35)
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp.
n = 0, ta có
1
5
(L1 + L−1) =
1
5
(1− 1) = 0 = F0.
n = 1, ta có
1
5
(L2 + L0) =
1
5
(3 + 2) = 1 = F1.
Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n+ 1. Thật vậy, theo (1.1),(1.2) và giả thiết quy nạp, ta có
Fn+1 = Fn + Fn−1
=
1
5
(Ln+1 + Ln−1) +
1
5
(Ln + Ln−2)
=
1
5
(Ln+1 + Ln + Ln−1 + Ln−2)
=
1
5
(Ln+3 + Ln+1) .
Suy ra, điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
26
Bổ đề 1.4.7.
Ln = Fn−1 + Fn+1. (1.36)
Chứng minh. Theo (1.9), ta có
Fn−1 + Fn+1 =
1√
5
(
ϕn−1 − (−ϕ−1)n−1)+ 1√
5
(
ϕn+1 − (−ϕ−1)n+1)
=
1√
5
(
ϕn
ϕ
−
(−ϕ−1)n
(−ϕ−1)
)
+
1√
5
(
ϕϕn − (−ϕ−1) (−ϕ−1)n) ,
hay
Fn−1 + Fn+1 =
1√
5
ϕn
(
1
ϕ
+ ϕ
)
− 1√
5
(−ϕ−1)n( 1−ϕ−1 − ϕ−1
)
(1.37)
Mặt khác, theo (1.8) có
ϕ =
1 +
√
5
2
,
1
ϕ
=
√
5− 1
2
,
−ϕ−1 = 1−
√
5
2
,
1
−ϕ−1 = −
1 +
√
5
2
.
Nên, suy ra
1
ϕ
+ ϕ =
√
5− 1