Toán học - Giải phương trình bằng hệ phương trình

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG HỆ 
PHƯƠNG TRÌNH 
Cao Minh Quang, GV Toán trường THPT chuyên 
Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long 
***** 
Phương trình (đại số) là bài toán thường xuất hiện 
trong các kì thi tuyển sinh, các kì thi học sinh giỏi. Có 
rất nhiều phương pháp giải phương trình như dùng 
các phép biến đổi đại số để đưa phương trình về dạng 
tích, dạng đa thức, dùng bất đẳng thức, dùng tính chất 
đơn điệu của hàm số, lượng giác hóa  
Bài viết sau trình bày phương pháp giải phương trình 
(đại số) bằng cách giải hệ phương trình. 
Bài toán 1. Giải phương trình 
x 2 x 6 2+ − − = . 
Lời giải. Điều kiện x 6≥ . 
Đặt ( )a x 2,b x 6 a,b 0= + = − ≥ , ta được hệ phương 
trình 
2 2
a b 2 a b 2 a 3 x 2 3
a b 8 a b 4 b 1 x 6 1
⎧− = − = = + =⎧ ⎧ ⎧ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = + = = − =⎩ ⎩ ⎩ ⎪⎩
. 
Giải hệ phương trình trên, ta được x 7= . So sánh với 
điều kiện, ta nhận nghiệm x 7= . 
Bài toán 2. Giải phương trình 
3 33x 1 x 3 2− − − = . 
Lời giải. 
Đặt 3 3a x 1, b x 3= − = − , ta được hệ phương trình 
33
3 3 2 2 3
a b 2a b 2
a b 2 a ab b 4
⎧⎧ − =− =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨− =⎪ + + =⎪⎩ ⎩
 ( )
3 3
2 3
a b 2 a b 2
ab 0a b 3ab 4
⎧ − = ⎧ − =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ =⎪− + = ⎩⎪⎩
3
3
a 0 a 2 
b 2 b 0 
=⎧ ⎧ = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= − =⎪ ⎪⎩ ⎩
Với 3a 0, b 2,= = − ta được x 1= . 
Với 3a 2,b 0,= = ta được x 3= . 
Vậy phương trình có hai nghiệm x 1, x 3= = . 
Bài toán 3. Giải phương trình 
4 497 x x 15 4− + − = . 
Lời giải. Điều kiện 15 x 97≤ ≤ 
Đặt ( )4 4a 97 x , b x 15 a, b 0= − = − ≥ , ta được hệ 
phương trình 
( ) 224 4 2 2
 a b 4 a b 4 
a b 82 a b 2ab 2a b 82 
+ =⎧+ =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨⎡ ⎤+ = + − − =⎩ ⎪⎣ ⎦⎩
2 2
 a b 4 a b 4 a b 4
a b 32ab 87 0 ab 3 ab 29
+ = + = + =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨− + = = =⎩ ⎩ ⎩ . 
• a b 4 a 3 a 1
 ab 3 b 1 b 3
+ = = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = =⎩ ⎩ ⎩ . Khi đó x 16= (nhận). 
• a b 4
 ab 29
+ =⎧⎨ =⎩ (Hệ phương trình vô nghiệm) 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 16= . 
Bài toán 4. Giải phương trình 
5 5
1 1x x 1
2 2
+ + − = . 
Lời giải. 
Đặt 5 51 1a x,b x
2 2
= + = − , ta được hệ phương trình 
 ( )( ) ( )3 3 2 2 2 25 5
 a b 1 a b 1
a b a b a b a b 1a b 1
+ =⎧+ =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨ + + − + =+ =⎩ ⎪⎩
( ) ( )2 2 2 2
 a b 1
a b 3ab a b 2ab a b 1
+ =⎧⎪⇔ ⎨⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − − =⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
 2 2
 a b 1 a b 1 a b 1
a b ab 0 ab 0 ab 1
+ = + = + =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨− = = =⎩ ⎩ ⎩ 
• a b 1 a 1 a 0
ab 0 b 0 b 1
+ = = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = =⎩ ⎩ ⎩ . 
 Khi đó 1x
2
= hoặc 1x
2
= − . 
• a b 1
ab 1
+ =⎧⎨ =⎩ (Hệ phương trình vô nghiệm) 
Vậy phương trình có nghiệm 1x
2
= , 1x
2
= − . 
Bài toán 5. Giải phương trình 
3
1 1x x 1
2 2
+ + − = . 
Lời giải. Điều kiện 1x
2
≤ . 
Đặt, ( )3 1 1a x,b x b 0
2 2
= + = − ≥ ta được hệ phương 
trình 
 ( )23 2 3
a b 1a b 1
a b 1 a 1 a 1
+ =⎧+ =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨+ = + − =⎩ ⎪⎩
3 2
a b 1 a 0 a 1 a 2
a a 2a 0 b 1 b 0 b 3 
+ = = = = −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ − = = = =⎩ ⎩ ⎩ ⎩ . 
Từ đó, ta suy ra 1 1 17x , x , x
2 2 2
= − = = − . 
 So sánh điều kiện ban đầu, ta nhận các nghiệm 
1 1 17x , x , x
2 2 2
= − = = − . 
Bài toán 6. Giải phương trình 
2x 2 2 x− + = − . 
Lời giải. Điều kiện x 2≤ . 
Đặt ( )y 2 x y 0= − ≥ , ta được hệ phương trình 
2 2
2 2 2
x 2 y x y 2 
y 2 x x y x y
⎧ ⎧− + = + =⇔⎨ ⎨− + = − = −⎩ ⎩
 ( ) ( )2 2x y 2 x y 2i ii
x y 0 x y 1
⎧ ⎧+ = + =⇔ ∨⎨ ⎨− = + =⎩ ⎩
. 
Ở hệ phương trình (i), ta nhận được x 1= (loại nghiệm 
x 2= − vì khi đó y 2 0= − < ). 
Ở hệ phương trình (ii), ta nhận được 1 5x
2
±= . 
So sánh với điều kiện ban đầu, ta nhận nghiệm 
x 1= , 1 5x
2
−= . 
Bài toán 7. Giải phương trình 
3 3x 1 2 2x 1+ = − . 
Lời giải. 
Đặt 3y 2x 1= − , ta được hệ phương trình 
 ( )( )( )
33
3 33
x 1 2y 1 x 1 2y
x y 2 y x 2y 1 2x
⎧⎧ + =+ = ⎪⇔⎨ ⎨ − = −+ = ⎪⎩ ⎩
( ) ( ) ( )2 22 x y x xy y 2 0⇔ − + + + = . Ta nhận thấy rằng 
2
2 2 21 3x xy y 2 x y y 2 0
2 4
⎛ ⎞+ + + = + + + >⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Do đó x y 0− = hay x y= . Thế vào phương trình (1) 
3 1 5 1 5x 2x 1 0 x 1 x x
2 2
− + − −− + = ⇔ = ∨ = ∨ = . 
Vậy phương trình có nghiệm 1 5x 1, x
2
− ±= = . 
Bài toán 8. Giải phương trình 
( )3 33 3x. 35 x x 35 x 30− + − = . 
Lời giải. 
Đặt 3 3y 35 x= − , ta được hệ phương trình 
( ) ( )
( ) ( )33 3
 y x y 30xy x y 30
 x y 35 x y 3xy x y 35
+ =⎧⎧ + = ⎪⇔⎨ ⎨+ = + − + =⎩ ⎪⎩
( )
( )3
xy x y 30 x y 5
 xy 6 x y 125
+ =⎧ + =⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ =+ = ⎩⎪⎩
x 3 x 2
y 2 y 3
= =⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨= =⎩ ⎩
Vậy phương trình có nghiệm x 3= , x 2= . 
Để kết thúc bài viết, xin nêu một số bài tập tự luyện. 
Giải các phương trình sau 
1. 2x x 5 5− + = . 
2. 3 33x 1 x 3 2− + − = . 
3. 3 33x 2 x 3 2x 1− + + = + . 
4. 3 x 1 x 2 1− − + + = . 
5. 4 4x 8 x 8 2+ − − = . 
6. 4 457 x x 40 5− + + = . 
7. ( ) ( )4 4x 3 x 5 2+ + + = . 
8. ( )22 33x 16 x 8+ − = . 
. 
LỜI GIẢI CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. 2x x 5 5− + = 
Lời giải. Điều kiện x 5≥ − 
Đặt ( )y x 5 y 0= + ≥ , ta được hệ phương trình 
( )( )
22
2
 x y 5x y 5
x y x y 1 0y x 5
⎧⎧ − =− = ⎪⇔⎨ ⎨ − + + =− = ⎪⎩ ⎩
 ( ) ( )2 2x y 5 x y 5 I II
 x y y 1 x
⎧ ⎧− = − =⇔ ∨⎨ ⎨= = − −⎩ ⎩
. 
Giải hệ (I), ta được 1 21x y
2
±= = . 
Giải hệ (II), ta được 1 17 1 17x , y
2 2
− + − −= = 
 hoặc 1 17 1 17x , y
2 2
− − − += = . 
Kết hợp điều kiện ban đầu, nhận nghiệm 
1 21x
2
+= , 1 17x
2
− −= . 
2. 3 33x 1 x 3 2− + − = 
Lời giải. 
Đặt 3 3a x 1, b x 3= − = − , ta được hệ phương trình 
( ) ( )
33
23 3 3
 a b 2a b 2
a b a b ab 4a b 2 
⎧ + =⎧ + =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ ⎡ ⎤− + − =− =⎪⎩ ⎪ ⎣ ⎦⎩
 ( )
3 3
2 3
a b 2 a b 2
ab 0a b 3ab 4
⎧ − = ⎧ − =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ =⎪− + = ⎩⎪⎩
3
3
a 0 a 2 
b 2 b 0 
=⎧ ⎧ = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= − =⎪ ⎪⎩ ⎩
Với 3a 0, b 2,= = − ta được x 1= . 
Với 3a 2,b 0,= = ta được x 3= . 
Vậy phương trình có hai nghiệm x 1, x 3= = . 
3. 3 312 x 16 x 4− + + = 
Lời giải. 
Đặt 3 3a 12 x ,b 16 x= − = + , ta được hệ phương trình 
3 3
 a b 4 a b 4
a b 28 ab 3
+ = + =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ = =⎩ ⎩ 
Với a 1, b 3,= = ta được x 11= . 
Với a 3,b 1,= = ta được x 15= − . 
Vậy phương trình có hai nghiệm x 11, x 15= = − . 
4. 3 33x 2 x 3 2x 1− + + = + 
Lời giải. 
Đặt 3 3a x 2, b x 3= − = + , ta được hệ phương trình 
( )3 3 3
3 33 3
 ab a+b 0 a b a b 
 b a 5b a 5 
⎧ ⎧ =⎪ + = + ⇔⎨ ⎨ − =− =⎪ ⎩⎩
Với 3a 0,b 5,= = ta được x 2= . 
Với 3a 5,b 0,= − = ta được x 3= − . 
Với 3 35 5a , b ,
2 2
= − = ta được 1x
2
= − . 
Vậy phương trình có nghiệm 1x 2, x 3, x
2
= = − = − . 
5. 4 4x 8 x 8 2+ − − = 
Lời giải. Điều kiện x 8≥ 
Đặt ( )4 4a 97 x , b x 15 a, b 0= − = − ≥ , ta được hệ 
phương trình 
( )( )2 24 4
 a b 4 a b 2 
a b a b 8a b 16
− =⎧− =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨ + + =− =⎩ ⎪⎩
2 2
 a b 4 a b 4 a b 4
a b 32ab 87 0 ab 3 ab 29
+ = + = + =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨− + = = =⎩ ⎩ ⎩ . 
• a b 4 a 3 a 1
 ab 3 b 1 b 3
+ = = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = =⎩ ⎩ ⎩ . Khi đó x 16= (nhận). 
• a b 4
 ab 29
+ =⎧⎨ =⎩ (Hệ phương trình vô nghiệm) 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 16= . 
6. 4 457 x x 40 5− + + = 
Lời giải. Điều kiện 57 x 40≥ ≥ − 
Đặt ( )4 4a 57 x , b x 40 a, b 0= − = + ≥ , ta được hệ 
phương trình 
( )24 4 2 2
 a b 5 a b 5 
a b 97 25 2ab 2a b 97 
+ =⎧+ =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨+ = − − =⎩ ⎪⎩
2 2
 a b 5 a b 5 a b 5 
a b 50ab 264 0 ab 6 ab 44
+ = + = + =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨− + = = =⎩ ⎩ ⎩ . 
• a b 5 a 3 a 2
 ab 6 b 2 b 3
+ = = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= = =⎩ ⎩ ⎩ . Khi đó x 41= (nhận). 
• a b 5
 ab 44
+ =⎧⎨ =⎩ (Hệ phương trình vô nghiệm) 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 41= . 
7. ( ) ( )4 4x 3 x 5 2+ + + = 
Lời giải. 
Đặt a x 3, b x 5= + = + , ta được hệ phương trình 
( ) 224 4 2 2
 a b 2a b 2 
a b 2 a b 2ab 2a b 2
− + =⎧− + =⎧ ⎪⇔⎨ ⎨⎡ ⎤+ = − + + − =⎩ ⎪⎣ ⎦⎩
2 2
 a b 2 a b 2 a b 2 
a b 8ab 7 0 ab 1 ab 7
− + = − + = − + =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨+ + = = − = −⎩ ⎩ ⎩ 
• a b 2 a 1
 ab 1 b 1 
− + = = −⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − =⎩ ⎩ . Khi đó x 1= − . 
• a b 2 
 ab 7
− + =⎧⎨ = −⎩ (Hệ phương trình vô nghiệm) 
Vậy phương trình có nghiệm x 1= − . 
8. ( )22 33x 16 x 8+ − = 
Lời giải. 
Đặt ( )33y 16 x= − , ta được hệ phương trình 
2 2
3 3
x y 8
x y 16
⎧ + =⎨ + =⎩
. 
Đặt ( )t x y= + , ta có 
( ) ( )33 3 3t x y x y 3xy x y= + = + + + = 
( ) ( )2 2 2 2x y x y t 816 3t. 16 3t.
2 2
+ − + −= + = + 
Do đó ( )( )3 2t 24t 32 0 t 4 t 4t 8 0− + = ⇔ − + − = . 
t 4 
t 2 2 3
t 2 2 3
=⎡⎢⇔ = − +⎢⎢ = − −⎣
• t 4= , ta được hệ phương trình 
x y 4 x 2
xy 4 y 2
+ = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩ . 
• t 2 2 3= − + , ta được hệ phương trình 
x y 2 2 3
xy 4 4 3
⎧ + =− +⎪⎨ = −⎪⎩
4 4
4 4
x 3 1 12 x 3 1 12
y 3 1 12 y 3 1 12
⎧ ⎧= − + = − −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= − − = − +⎪⎪ ⎩⎩
• t 2 2 3= − − , ta được hệ phương trình 
x y 2 2 3
xy 4 4 3
⎧ + = − −⎪⎨ = +⎪⎩
 ( Hệ phương trình vô nghiệm) 
 Kết luận. Phương trình có 3 nghiệm 
4 4x 2; x 3 1 12; x 3 1 12= = − + = − − . 
.....................................