Toán học - Giải một lớp bài toán hình nhờ số phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Văn Chiến
GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN HÌNH HỌC NHỜ SỐ PHỨC
Chuyên ngành: Toán Sơ Cấp
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Hà Huy Khoái
Thái Nguyên, năm 2012
Header Page 1 of 52.
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
1Mục lục
Mở đầu 3
1 Định nghĩa số phức 5
1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức . . . 6
1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân . . . . . . . 6
1.2 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Ý nghĩa hình học của các số phức và modun . . . . . . . . 10
1.3.1 Ý nghĩa hình học của số phức . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Ý nghĩa hình học của modun . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . 12
1.4 Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Tọa độ cực trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Tọa độ cực của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Các phép toán số phức trong tọa độ cực . . . . . . 14
1.4.4 Ý nghĩa hình học của phép nhân . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Các căn bậc n của đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Số phức và hình học 19
2.1 Một vài khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Khoảng cách giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Chia đoạn thẳng theo một tỉ số . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.5 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.6 Phép quay một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Header Page 2 of 52.
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
22.2 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng thuộc một đường
tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Tích thực của hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Hình học giải tích trong số phức 40
3.1 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm . . . . . 41
3.3 Phương trình đường thẳng xác định bởi một điểm và phương 42
3.4 Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng . 43
3.5 Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng . . . . . . 44
3.6 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . . . 46
3.8 Góc giữa hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận 50
Tài liệu tham khảo 51
Header Page 3 of 52.
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
3Mở đầu
1.Lí do chọn đề tài
Với các bài toán hình học sơ cấp thì việc tìm nhiều phương pháp giải
đem lại cho người học nhiều hứng thú và ham thích học môn toán hơn.
Đặc biệt là đối với các giáo viên, các em học sinh đang trực tiếp giảng dạy
và học tập trong các cấp học phổ thông. Bản thân là một giáo viên đang
giảng dạy ở trường THPT, nên đề tài rất có ý nghĩa trong thực tiễn. Vì
vậy tôi đã lựa chọn đề tài này. Có nhiều cách tiếp cận và nghiên cứu về
đa giác như phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, . . . Tuy vậy, trong
đề tài này tác giả chỉ xin được trình bày một số ứng dụng của số phức
trong việc nghiên cứu và giải quyết một số bài toán về hình học sơ cấp.
Cũng chính vì thế nội dung trong đề tài này gồm các kiến thức về số phức,
một số kiến thức về hình học và một số ứng dụng của số phức trong việc
nghiên cứu một số bài toán về hình học sơ cấp.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống và tổng quát các bài toán về đa giác bằng phương pháp số
phức và các ứng dụng khác nhau trong trường phổ thông. Đồng thời nắm
được một số kĩ thuật tính toán biến đổi hình học liên quan đến số phức.
3. Nhiệm vụ của đề tài
Đưa ra định nghĩa và các phép toán về số phức một cách tổng quát có
ví dụ minh họa kèm theo, ngoài ra đề tài đi sâu mở rộng các mảng kiến
thức về số phức áp dụng trong hình học, đặc biệt các bài toán về đa giác.
Bên cạnh đó, qua việc nghiên cứu đề tài trang bị cho bản thân thêm
một số nguồn tư liệu trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu.
Header Page 4 of 52.
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
44. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán hình học và dùng số phức vào giải các bài toán
hình học sơ cấp, xét các ứng dụng liên quan.
Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS – TSKH Hà Huy Khoái,
các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học
và tuổi trẻ,. . .
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
Trung học phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học các
chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo trong
việc dạy và học toán.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương
Chương I: Định nghĩa số phức
Chương II: Số phức và hình học
Chương III: Hình học giải tích trong số phức
Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khoái,
người đã tận tình giúp đỡ, động viên và ân cần chỉ bảo cho em hoàn
thành luận văn này. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo,
cô giáo trong hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy
giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học toán K4C trường Đại học
Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt nhất, đã nhiệt
tình giảng dạy và định hướng cho em trong quá trình học tập và nghiên
cứu. Tuy đã hết sức cố gắng nghiên cứu đề tài và viết luận văn, song khó
tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, hướng
dẫn của các thầy, các cô và sự đóng góp ý kiến của các bạn bè đồng
nghiệp để luận văn của em được hoàn chỉnh và có ý nghĩa thiết thực hơn.
Trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, năm 2012
Tác giả
Header Page 5 of 52.
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
5Chương 1
Định nghĩa số phức
1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức
1.1.1 Định nghĩa số phức
Giả thiết ta đã biết định nghĩa và các tính chất cơ sở của tập hợp các số
thực R.
Ta xét tập hợp R2 = R.R = {(x, y) |x, y ∈ R }. Hai phần tử (x1, y1) và (x2, y2),
bằng nhau khi và chỉ khi x1 = x2 và y1 = y2. Các phép toán cộng và nhân
được định nghĩa trên R2 như sau:
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∈ R2.
Và
z1.z2 = (x1, y1) . (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) ∈ R2.
Với mọi z1 = (x1, y1) ∈ R2 và z2 = (x2, y2) ∈ R2. Phần tử z1 + z2 gọi là
tổng của z1, z2 và phần tử z1.z2 ∈ R2 gọi là tích của z1, z2.
Nhận xét:
1)Nếu z1 = (x1, 0) ∈ R2 và z2 = (x2, 0) ∈ R2 thì z1z2 = (x1x2, 0) .
2)Nếu z1 = (0, y1) ∈ R2 và z2 = (0, y2) ∈ R2 thì z1z2 = (−y1y2, 0) .
Định nghĩa: Tập hợp R2 cùng với các phép toán cộng và nhân,được gọi
là tập số phức, kí hiệu C. Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C được gọi là một số
phức.
Kí hiệu C∗ để chỉ tập hợp C\ {(0, 0)}.
Header Page 6 of 52.
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
61.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức
(a) Tính giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1, z2 ∈ C.
(b) Tính kết hợp: (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) với mọi z1, z2, z3 ∈ C.
(c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất một số phức 0=(0,0) để
z + 0 = 0 + z = z với mọi z = (x, y) ∈ C.
(d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có duy nhất số phức
–z = (-x,-y) sao cho z + (−z) = (−z) + z = 0.
1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân
Phép nhân các số phức thỏa mãn các điều kiện sau đây
Tính giao hoán: z1z2 = z2z1 với mọi z1, z2 ∈ C.
Tính kết hợp: (z1z2)z3 = z1(z2z3) với mọi z1, z2, z3 ∈ C.
Phần tử đơn vị: Có duy nhất số phức 1 = (1, 0) ∈ C thỏa mãn
z.1 = 1.z = z. Số phức 1 = (1, 0) gọi là phần tử đơn vị với mọi z ∈ C.
Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z 6= 0 có duy nhất số
phức z−1 = (x,, y,) ∈ C sao cho z.z−1 = z−1z = 1 số phức z−1 = (x,, y,)
gọi là phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C.
Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C∗ được định nghĩa như sau
z0 = 1 ; z1 = z ; z2 = z.z, và zn = z.z...z︸ ︷︷ ︸
n lâ n
với mọi số nguyên n > 0
và zn = (z−1)−n với mọi số nguyên n < 0.
Mọi số phức z1, z2, z3 ∈ C∗ và mọi số nguyên m,n ta có các tính chất sau
1)zm.zn = zm+n;
2)
zm
zn
= zm−n;
3) (zm)n = zmn;
4)(z1z2)
n = zn1 z
n
2
;
5)
(
z1
z2
)n
=
zn1
zn2
.
Khi z = 0 ta định nghĩa 0n = 0 với mọi số nguyên n > 0.
Tính phân phối: z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3 với mọi z1, z2, z3 ∈ C∗.
Trên đây là những tính chất của phép cộng và phép nhân,thấy rằng tập
hợp C các số phức cùng với các phép toán trên lập thành một trường.
Header Page 7 of 52.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
71.2 Dạng đại số của số phức
Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thực hiện
các biến đổi đại số thường không được thuận lợi. Đó là lí do để tìm dạng
khác khi viết.
Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới. Xét tập hợp R × {0} cùng với
phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2.
Hàm số f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) là một song ánh và ngoài
ra (x, 0) + (y, 0) = (x+ y, 0) và (x, 0).(y, 0) = (xy, 0).
Người đọc sẽ không sai lầm nếu chú ý rằng các phép toán đại số trên
R× {0} đồng nhất với các phép toán trên R; vì thế chúng ta có thể đồng
nhất cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R. Ta sử dụng song ánh trên và kí
hiệu (x, 0) = x.
Xét i = (0, 1) ta có
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1)
= x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0).
Từ trên ta có mệnh đề.
Mệnh đề 1.2.1. Mỗi số phức z = (x, y) có thể biểu diễn duy nhất dưới
dạng z = x+ yi. Với x, y là các số thực và i2 = −1.
Hệ thức i2 = −1 được suy ra từ định nghĩa phép nhân
i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1.
Biểu thức x+yi được gọi là biểu diễn đại số của số phức z = (x, y). Vì thế
ta có thể viết C =
{
x+ yi |x ∈ R, y ∈ R , i2 = −1}. Từ giờ ta kí hiệu
z = (x, y) bởi z = x+ yi. Số thực x = Re(z) được gọi là phần thực của số
phức z, y = Im(z) được gọi là phần ảo của z. Số phức có dạng yi , y ∈ R
gọi là số ảo. Số phức có dạng yi , y ∈ R∗ gọi là số thuần ảo, số phức i
gọi là đơn vị ảo.
Từ các hệ thức trên ta dế dàng có các kết quả sau
a) z1 = z2 khi và chỉ khi Re(z1) = Re(z2) và Im(z1) = Im(z2).
b) z ∈ R khi và chỉ khi Im(z) = 0.
Header Page 8 of 52.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
8c) z ∈ C\R khi và chỉ khi Im(z) 6= 0.
Sử dụng dạng đại số, các phép toán về số phức được thực hiện như sau:
Phép cộng
z1 + z2 = (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i ∈ C.
Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần
thực, có phần ảo là tổng các phần thực ảo.
Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2).
Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2).
Phép trừ
z1 − z2 = (x1 + y1i)− (x2 + y2i) = (x1 − x2) + (y1 − y2)i ∈ C.
Ta có
Re(z1 − z2) = Re(z1)− Re(z2).
Im(z1 − z2) = Im(z1)− Im(z2).
Phép nhân
z1.z2 = (x1 + y1i).(x2 + y2i) = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1) i ∈ C.
Ta có
Re(z1z2) = Re(z1) Re(z2)− Im(z1) Im(z2).
Im(z1z2) = Im(z1) Re(z2) + Im(z2) Re(z1).
Mối số thực λ, số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là
tích của một số thực với một số phức. Ta có các tính chất sau
1) λ(z1 + z2) = λz1 + λz2.
2) λ1(λ2z) = (λ1λ2)z.
3)(λ1 + λ2)z = λ1z + λ2z.
Lũy thừa của số i
Header Page 9 of 52.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
9Các công thức cho số phức với lũy thừa là số nguyên được bảo toàn đối
với dạng đại số z = x+ yi. Xét z = i, ta thu được:
i0 = 1 ; i1 = i ; i2 = −1 ; i3 = i2.i = −i
i4 = i3.i = 1; i5 = i4.i = i ; i6 = i5.i = −1; i7 = i6.i = −i
Ta có thể tổng quát các công thức trên đối với số mũ nguyên dương n.
i4n = 1 ; i4n+1 = i ; i4n+2 = −1 ; i4n+3 = −i.
Vì thế in ∈ {−1 , 1 ,−i , i} với mọi số nguyên n > 0. Nếu n là số
nguyên âm ta có:
in =
(
i−1
)−n
=
(
1
i
)−n
= (−i)−n
Số phức liên hợp
Mỗi số phức z = x + yi đều có số phức z = x − yi, số phức đó được gọi
là số phức liên hợp hoặc số phức liên hợp của số phức z.
Mệnh đề 1.2.2.
1) Hệ thức z = z đúng khi và chỉ khi z ∈ R;
2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z = z;
3) Mỗi số phức z ta luôn có z.z là một số thực không âm;
4) z1 + z2 = z1 + z2 (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số
phức liên hợp);
5) z1.z2 = z1.z2(số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên
hợp);
6) Mỗi số phức z khác 0 đẳng thức sau luôn đúng z−1 = z−1;
7)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
, z2 6= 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên
hợp);
Header Page 10 of 52.
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
10
8) Công thức Re(z) =
z + z
2
và Im(z) =
z − z
2i
, đúng với mọi số phức
z ∈ C.
Ghi chú:
a) phần tử nghịch đảo của số phức z ∈ C∗ có thể được tính như sau
1
z
=
z
z.z
=
x− yi
x2 + y2
=
x
x2 + y2
− y
x2 + y2
i.
b) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức
như sau
z1
z2
=
z1.z2
z2z2
=
(x1 + y1i) (x2 − y2i)
x22 + y
2
2
=
x1x2 + y1y2
x22 + y
2
2
+
−x1y2 + x2y1
x22 + y
2
2
i.
Modun của số phức
Số |z| = √x2 + y2 được gọi là modun của số phức z = x+ yi.
Mệnh đề 1.2.3.
1) − |z| 6 Re(z) 6 |z| và − |z| 6 Im(z) 6 |z| ;
2) |z| > 0 , ∀ z ∈ C, ngoài ra |z| = 0 khi và chỉ khi z = 0;
3) |z| = |−z| = |z| ;
4) z.z = |z|2 ;
5) |z1z2| = |z1| . |z2| ; (mô đun của một tích bằng tích các mô đun)
6) |z1| − |z2| 6 |z1 + z2| 6 |z1|+ |z2| ;
7)
∣∣z−1∣∣ = |z|−1 , z 6= 0;
8)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| , z2 6= 0; (mô đun của một tích bằng tích các mô đun)
9) |z1| − |z2| 6 |z1 − z2| 6 |z1|+ |z2| .
1.3 Ý nghĩa hình học của các số phức và modun
1.3.1 Ý nghĩa hình học của số phức
Chúng ta định nghĩa số phức z = (x, y) = x+ yi là một cặp số thực sắp
thứ tự (x, y) ∈ R× R, vì thế hoàn toàn tự nhiên khi xem mỗi số phức
z = x+ yi là một điểm M(x, y) trong không gian R× R.
Header Page 11 of 52.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
11
Xét P là tập hợp các điểm của không gian
∏
với hệ trục tọa độ xOy và
song ánh φ : C → P , φ (z) =M (x, y) .
Điểm M(x; y) được gọi là dạng hình học của số phức z = x+ yi. Số phức
z = x + yi được gọi là tọa độ phức của điểm M(x; y). Chúng ta kí hiệu
M(z) để chỉ tọa độ phức của điểm M là số phức z.
Dạng hình học của số phức liên hợp z của sô phức z = x + yi là điểm
M ′(x,−y) đối xứng với M(x, y) qua truc tọa độ Ox.
Dạng hình học của số đối -z của số phức z = x+ yi là điểm M
′′
(−x;−y)
đối xứng với M(x, y) qua gốc tọa độ O.
Song ánh φ từ tập R lên trục Ox ta gọi là trục thực, lên trục Oy ta gọi là
trục ảo.
Không gian
∏
cùng với các điểm được đồng nhất với số phức gọi là không
gian phức.
Ta cũng có thể đồng nhất các số phức z = x + yi với vectơ −→v = −−→OM ,
với M(x, y) là dạng hình học của số phức z.
Gọi V0 là tập hợp các vectơ có điểm gốc là gốc tọa độ O. Ta có thể định
nghĩa song ánh:
φ′ : C → V0 , φ′(z) = −−→OM = x−→i + y−→j , với −→i , −→j là các vectơ đơn
vị trên trục tọa độ Ox, Oy.
1.3.2 Ý nghĩa hình học của modun
Xét số phức z = x+ yi biểu diễn hình học trong mặt phẳng là M(x, y).
Khoảng cách Ơclit OM cho bởi công thức
OM =
√
(xM − xO)2 + (yM − yO)2.
Vì thế OM =
√
x2 + y2 = |z| = |−→v | môđun |z| của số phức z = x+ yi
là độ dài của đoạn thẳng OM hoặc là độ lớn của vectơ −→v = x−→i + y−→j .
Chú ý:
a) Mỗi số thực dương r, tập hợp các số phức có modun r tương đương
với đường tròn C(O; r) tâm O bán kính r trong mặt phẳng.
b) Các số phức z với |z| < r là các điểm nằm bên trong đường tròn
C(O; r). Các số phức z với |z| > r là các điểm nằm bên ngoài đường tròn
Header Page 12 of 52.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
12
C(O; r).
1.3.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số
a) Phép cộng và phép trừ
Xét hai số phức z1 = x1 + y1i và z2 = x2 + y2i tương đương với hai vectơ−→v1 = x1−→i + y2−→j và −→v2 = x2−→i + y2−→j .
Tổng của hai số phức z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2) i là tổng hai vectơ−→v1 + −→v2 = (x1 + x2)−→i + (y1 + y2)−→j . Vì thế z1 + z2 tương đương với−→v1 +−→v2 .
Hoàn toàn tương tự đối với phép trừ.
Hiệu của hai số phức z1 − z2 = (x1 − x2) + (y1 − y2) i là hiệu hai vectơ−→v1 − −→v2 = (x1 − x2)−→i + (y1 − y2)−→j . Vì thế z1 − z2 tương đương với−→v1 −−→v2 .
Chú ý: Khoảng cách giữa M1 (x1, y1) và M2 (x2, y2) bằng modun của số
phức z1 − z2 hoặc độ dài của vectơ −→v1 −−→v2 .
Vậy M1M2 = |z1 − z2| = |−→v1 −−→v2 | =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
b.Tích của số thực và số phức
Xét số phức z = x + yi tương đương với véc tơ −→v = x−→i + y−→j . Nếu
λ là số thực, thì tích số thực λz = λx + λyi tương đương với vectơ
λ−→v = λx−→i + λy−→j .
Chú ý: Nếu λ > 0 thì vectơ λ−→v và −→v cùng hướng và |λ−→v | = λ |−→v |, nếu
λ < 0 thì vectơ λ−→v và −→v ngược hướng và |λ−→v | = −λ |−→v |. Tất nhiên
λ = 0 thì λ−→v = −→0 .
1.4 Dạng lượng giác của số phức
1.4.1 Tọa độ cực trong mặt phẳng
Xét mặt phẳng tọa độ với M(x, y) không trùng gốc tọa độ. Số thực
r =
√
x2 + y2 gọi là bán kính cực của điểm M . Góc định hướng
t∗ ∈ [0, 2pi) giữa vectơ −−→OM với chiều dương của trục tọa độ Ox gọi là
Header Page 13 of 52.
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
13
argumen cực của điểm M . Cặp số (r, t∗) gọi là tọa độ cực của điểm M .
Ta sẽ viết M (r, t∗). Chú ý hàm số
h : R× R\ {(0, 0)} → (0,∞)x [0, 2pi) , h ((x, y)) = (r, t∗) ;
là song ánh.
Gốc tọa độ O là điểm duy nhất sao cho r = 0, argumen t∗ của gốc không
được định nghĩa.
Mỗi điểm M trong mặt phẳng, có duy nhất giao điểm P của tia OM với
đường tròn đơn vị gốc O. Điểm P giống như argument cực t∗. Sử dụng
định nghĩa hàm sin và cos ta có
x = r cos t∗ , y = r sin t∗.
Vì thế ta dễ dàng có tọa độ Đề Các của một điểm từ tọa độ cực.
Ngược lại, xét điểm M(x, y). Bán kính cực là r =
√
x2 + y2. Ta xác định
argument cực trong các trường hợp sau
a) Nếu x 6= 0, từ tant∗ = y
x
ta suy ra t∗ = arctan yx + kpi.
Với
k =

0 khi x > 0 , y > 0
1 khi x < 0 , y ∈ R
2 khi x > 0 , y < 0 .
b) Nếu x = 0 và y 6= 0 thì t∗ =

pi
2
khi y > 0
3pi
2
khi y < 0.
1.4.2 Tọa độ cực của số phức
Mỗi số phức z = x+ yi ta có thể viết dưới dạng cực
z = r (cos t∗ + i sin t∗) . Với r ∈ [0,∞) và t∗ ∈ [0, 2pi) đó là tọa độ cực
dạng hình học của số phức z Argument cực của dạng hình học của số
phức z được gọi là argument của z, kí hiệu là arg z. Bán kính cực của
dạng hình học của số phức z bằng mô đun cua z. Khi z 6= 0 mô đun và
argument của z được xác định một cách duy nhất.
Header Page 14 of 52.
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
14
Xét z = r (cos t∗ + i sin t∗) và t = t∗ + 2kpi với k là số nguyên thì
z = r (cos (t− 2kpi) + i sin (t− 2kpi)) = r (cos t+ i sin t) .
Mỗi số phức z có thể biểu diễn như z = r (cos t+ i sin t) với r > 0 và
t ∈ R. Tập hợp Arg z = {t = t∗ + 2kpipi , k ∈ Z} được gọi là arguent mở
rộng của số phức z.
Vì thế, hai số phức z1, z2 6= 0 có dạng
z1 = r1 (cos t1 + i sin t1) và z2 = r2 (cos t2 + i sin t2)
bằng nhau khi và chỉ khi r1 = r2 và t1 − t2 = 2kpi, với k là số nguyên.
Chú ý: Các dạng sau nên nhớ
1 = cos0 + i sin 0 , i = cos
pi
2
+ i sin
pi
2
,
−1 = cospi + i sin pi , −i = cos3pi
2
+ i sin
3pi
2
.
1.4.3 Các phép toán số phức trong tọa độ cực
Phép nhân Giả sử rằng
z1 = r1 (cos t1 + i sin t1) và z2 = r2 (cos t2 + i sin t2) ;
thì z1z2 = r1r2 (cos (t1 + t2) + i sin (t1 + t2)) .
Lũy thừa của một số phức (De moirve) Cho z = r (cos t+ i sin t) ,
n ∈ N, ta có zn = rn (cosnt+ i sinnt) .
Phép chia Giả sử rằng
z1 = r1 (cos t1 + i sin t1) và z2 = r2 (cos t2 + i sin t2) ;
thì
z1
z2
=
r1
r2
(cos (t1 − t2) + i sin (t1 − t2)) .
1.4.4 Ý nghĩa hình học của phép nhân
Xét z1 = r1 (cos t
∗
1 + i sin t
∗
1) và z2 = r2 (cos t
∗
2 + i sin t
∗
2) . Biểu diễn hình
học của chúng là M1(r1, t
∗
1) , M2(r2, t
∗
2). Gọi P1 , P2 lần lượt là giao điểm
của C(O, 1) với các tia (OM1 và (OM2 . Lấy P3 ∈ C(O, 1) với argument
Header Page 15 of 52.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
15
cực là t∗1 + t
∗
2 và chọn M3 ∈ (OP3 sao cho OM3 = OM1.OM2. Lấy z3 có
tọa độ M3. Điểm M3 (r1r2, t
∗
1 + t
∗
2) là dạng hình học z1.z2.
Lấy A là dạng hình học của số phức 1. Ta có
OM3
OM1
=
OM2
1
⇔ OM3
OM2
=
OM2
OA
và M̂2OM3 = ÂOM1 nên hai tam giác
M2OM3 và AOM1 đồng dạng.
Khi biểu diễn dạng hình học của một thương chú ý rằng dạng hình học
của
z3
z2
là điểm M1.
1.4.5 Các căn bậc n của đơn vị
Cho số nguyên dương n > 2 và số phức z0 6= 0, giống như trên trường số
thực, phương trình Zn − z0 = 0 được sử dụng định nghĩa căn bậc n của
số z0. Vì vậy mỗi một giá trị Z thỏa mãn phương trình trên là một căn
bậc n của z0.
Định lý 1.4.1. [?] Cho z0 = r (cos t
∗ + i sin t∗) là số phức với r > 0 và
t∗ ∈ [0, 2pi) . Số phức z0 có n căn bậc n phân biệt cho bởi công thức
Zk =
n
√
r
(
cos
t∗ + 2kpi
n
+ i sin
t∗ + 2kpi
n
)
với k = 0, n− 1.
Chứng minh: Sử dụng dạng cực của số phức với argument xác định
Z = ρ (cosφ+ i sinφ) . Theo định nghĩa Zn = z0 hay
ρn (cosnφ+ i sinnφ) = r (cos t∗ + i sin t∗) .
Ta có ρn = r và nφ = t∗+2kpi với k ∈ Z. Vì thế ρ = n√r và φk = t
∗
n
+k.
2pi
n
với k ∈ Z.
Do đó nghiệm của (1) là Zk = n
√
r
(
cos
t∗ + 2kpi
n
+ i sin
t∗ + 2kpi
n
)
với
k ∈ Z. Nhận thấy rằng 0 6 φ0 < φ1... < φn−1, vì thế các số φk , k ∈
{0, 1...., n− 1} chính là các argument và φ∗k = φk. Ta có n giá trị căn phân
Header Page 16 of 52.
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
16
biệt của z0. Z0, Z1 , ...., Zn−1. Cho k là số nguyên và r ∈ {0, 1, ..., n− 1},
thì r đồng dư với k theo moduln. Khi đó k = nq + r ∈ Z và
φk =
t∗
n
+ (nq + r)
2pi
n
=
t∗
n
+ r
2pi
n
+ 2qpi = φr + 2qpi.
Nhận thấy Zk = Zr do đó {Zk : k ∈ Z} = {Z0 , Z1, ..., Zn−1} . Vậy có
chính xác n giá trị phân biệt của căn bậc n. Biểu diễn hình học các giá trị
của căn bậc n là các đỉnh của một n giác đều nội tiếp trong đương tròn
có tâm là gốc tọa độ, bán kính là n
√
r.
Ta chứng minh điều trên như sau, kí hiệu M0,M1, ...,Mn−1 là các điểm có
tọa độ phức Z0 , Z1, ..., Zn−1 vìOMk = |Zk| = n
√
r với k ∈ {0, 1, ..., n− 1}
nên các điểm Mk nằm trên đường tròn C (O, r
√
n). Bên cạnh đó, số đo của
cung MkMk+1 bằng
argZk+1 − argZk = t
∗ + 2 (k + 1) pi − (t∗ + 2kpi)
n
=
2pi
n
với k ∈ {0, 1, ...., n− 2} và số đo cung Mn−1M0 là 2pi
n
= 2pi− (n− 1) 2pi
n
.
Vì tất cả các cung M1M2, ...,Mn−1M0 đều bằng nhau nên đa giác
M0M1...Mn−1 là đa giác đều.
Căn bậc n của đơn vị Các nghiệm của phương trình Zn − 1 = 0 được
gọi là các căn bậc n của đơn vị. Vì 1 = cos0 + i sin 0.
Nên từ công thức căn bậc n của số phức ta có căn bậc n của đơn vị
εk = cos
2kpi
n
+ i sin
2kpi
n
, k ∈ {0, 1, ..., n− 1} .
Cụ thể ta có ε0 = cos 0 + i sin 0 = 1;
ε1 = cos
2pi
n
+ i sin
2pi
n
= ε;
ε2 = cos
4pi
n
+ i sin
4pi
n
= ε2;
. . . ;
εn−1 = cos
2 (n− 1)pi
n
+ i sin
2 (n− 1)pi
n
= εn−1.
Tập hợp
{
1, ε, ε2, ..., εn−1
}
kí hiệu Un. Ta có tập hợp Un được sinh bởi ε ,
mỗi phần tử của Un là một lũy thừa của ε.
Giống như trước, biểu diễn hình học các căn bậc n của một số phức là các
Header Page 17 of 52.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
17
đỉnh của một đa giác đều n cạnh, nội tiếp trong đường tròn đơn vị mà có
một đỉnh là 1. Ta xét một vài giá trị của n
i) Với n = 2, phương trình Z2 − 1 = 0 có các nghiệm 1 và −1 đây là
các căn bậc hai của đơn vị.
ii) Với n = 3, phương trình Z3 − 1 = 0 có các nghiệm cho bởi công
thức εk = cos
2kpi
3
+ i sin
2kpi
3
với k ∈ {0, 1, 2} .
Vì thế ε0 = 1 , ε1 = cos
2pi
3
+ i sin
2pi
3
= −1
2
+ i
√
3
2
, và
ε2 = cos
4pi
3
+ i sin
2pi
3
= −1
2
− i
√
3
2
.
Đây là các đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn C (O, 1) .
iii) Với n = 4, các căn bậc 4 là εk = cos
2kpi
4
+ i sin
2kpi
4
với k ∈ {0, 1, 2, 3} .
Cụ thể như sau
ε0 = 1 , ε1 = cos
pi
2
+ i sin
pi
2
= i
ε2 = cospi + i sin pi = −1 , ε3 = cos3pi
2
+ i sin
3pi
2
= −i.
Ta có U4 =
{
1, i, i2, i3
}
= {1, i,−1,−i} .
Biểu diễn hình học của các căn bậc bốn là các đỉnh của hình vuông nội
tiếp đường tròn C (O, 1) có một đỉnh là 1.
Căn εk ∈ Un được gọi là căn nguyên thủy nếu mọi số nguyên dương m < n
ta có εmk 6= 1.
Mệnh đề 1.4.2. a) Nếu n|q, mọi nghiệm của phương trình Zn − 1 = 0
là nghiệm của phương trình Zq − 1 = 0.
b) Nghiệm chung của phương trình Zm − 1 = 0 và Zn − 1 = 0 là các
nghiệm của phương trình Zd − 1 = 0 , với d=gcd(m,n) (d: ước chung lớn
nhất), Um ∩ Un = Ud.
c) Các nghiệm nguyên thủy của phương trình Zm − 1 = 0 là
εk = cos
2kpi
m
+ i sin
2kpi
m
với 0 6 k 6 m và gcd (k,m) = 1.
Header Page 18 of 52.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 
18
Mệnh đề 1.4.3. Nếu ε ∈ Un là một căn nguyên thủy của đơn vị thì tất
cả các nghiệm của phương trình Zn − 1 = 0 là εr, εr+1 , ..., εr+n−1 với n
là số nguyên dương tùy ý.
Mệnh đề 1.4.4. Cho ε0 , ε1 , ...., εn−1 là các căn bậc n của đơn vị. Với