Toán học - Chuyên đề Tích phân

Chuyờn đề
TÍCH PHÂN
CễNG THỨC
Bảng nguyờn hàm
Nguyờn hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyờn hàm của những hàm số thường gặp
Nguyờn hàm của những hàm số hợp
I. ĐỔI BIẾN SỐ 
TểM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
Để tớnh tớch phõn ta thực hiện cỏc bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tớnh .
Bước 2. Đổi cận: .
Bước 3. .
Vớ dụ 7. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
 Vớ dụ 8. Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
. Đặt 
ĐS: .
Vớ dụ 9. Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
Đặt 
ĐS: .
Vớ dụ 10. Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
Đặt ; đặt 
ĐS: .
Chỳ ý: 
Phõn tớch , rồi đặt sẽ tớnh nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a;b], để tớnh ta thực hiện cỏc bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tớnh .
Bước 2. Đổi cận: .
Bước 3. .
Vớ dụ 1. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Vớ dụ 2. Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
Đặt 
ĐS: .
Vớ dụ 3. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Vớ dụ 4. Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
.
Đặt 
ĐS: .
Vớ dụ 5. Tớnh tớch phõn .
ĐS: .
Vớ dụ 6. Tớnh tớch phõn .
ĐS: .
3. Cỏc dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giỏc
Vớ dụ 11 (bậc sin lẻ). Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
Đặt 
ĐS: .
Vớ dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
Đặt 
ĐS: .
Vớ dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tớnh tớch phõn .
Giải
.
Vậy .
Vớ dụ 14. Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
Đặt .
ĐS: .
Biểu diễn cỏc hàm số LG theo : 
3.2. Dạng liờn kết
Vớ dụ 15. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Tổng quỏt: 
.
Vớ dụ 16. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt 
 (1).
Mặt khỏc (2). Từ (1) và (2) suy ra .
Tổng quỏt:
.
Vớ dụ 17. Tớnh tớch phõn và .
Giải
 (1).
Đặt ị (2).
Từ (1) và (2)ị.
Vớ dụ 18. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt 
.
Đặt 
.
Vậy .
Vớ dụ 19. Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
Đặt 
ĐS: .
Tổng quỏt: 
Với , , hàm số chẵn và liờn tục trờn đoạn thỡ
.
Vớ dụ 20. Cho hàm số f(x) liờn tục trờn và thỏa .
Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt , 
.
Vậy .
3.3. Cỏc kết quả cần nhớ
i/ Với , hàm số lẻ và liờn tục trờn đoạn [–a; a] thỡ .
ii/ Với , hàm số chẵn và liờn tục trờn đoạn [–a; a] thỡ .
iii/ Cụng thức Walliss (dựng cho trắc nghiệm)
.
Trong đú
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
.
Vớ dụ 21. .
Vớ dụ 22. .
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Cụng thức
Cho hai hàm số liờn tục và cú đạo hàm trờn đoạn [a; b]. Ta cú
.
Cụng thức:
 (1).
Cụng thức (1) cũn được viết dưới dạng:
 (2).
2. Phương phỏp giải toỏn
Giả sử cần tớnh tớch phõn ta thực hiện
Cỏch 1.
Bước 1. Đặt (hoặc ngược lại) sao cho dễ tỡm nguyờn hàm và vi phõn khụng quỏ phức tạp. Hơn nữa, tớch phõn phải tớnh được.
Bước 2. Thay vào cụng thức (1) để tớnh kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp với P(x) là đa thức thỡ đặt .
ii/ Nếu gặp thỡ đặt .
Cỏch 2.
Viết lại tớch phõn và sử dụng trực tiếp cụng thức (2).
Vớ dụ 1. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt (chọn )
.
Vớ dụ 2. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt 
.
Vớ dụ 3. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt 
.
Đặt 
.
Chỳ ý:
Đụi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tớch phõn từng phần.
Vớ dụ 7. Tớnh tớch phõn .
Hướng dẫn:
Đặt .
Vớ dụ 8. Tớnh tớch phõn .
ĐS: .
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương phỏp giải toỏn
1. Dạng 1
Giả sử cần tớnh tớch phõn , ta thực hiện cỏc bước sau
Bước 1. Lập bảng xột dấu (BXD) của hàm số f(x) trờn đoạn [a; b], giả sử f(x) cú BXD:
Bước 2. Tớnh .
Vớ dụ 9. Tớnh tớch phõn .
Giải
Bảng xột dấu
.
Vậy .
Vớ dụ 10. Tớnh tớch phõn .
ĐS: .
2. Dạng 2
Giả sử cần tớnh tớch phõn , ta thực hiện
Cỏch 1.
Tỏch rồi sử dụng dạng 1 ở trờn.
Cỏch 2.
Bước 1. Lập bảng xột dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trờn đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xột dấu ta bỏ giỏ trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Vớ dụ 11. Tớnh tớch phõn .
Giải
Cỏch 1.
.
Cỏch 2.
Bảng xột dấu
x
 –1 0 1 2
x
 – 0 + ù +
x – 1
 – – 0 +
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để tớnh cỏc tớch phõn và , ta thực hiện cỏc bước sau:
Bước 1. Lập bảng xột dấu hàm số trờn đoạn [a; b].
Bước 2. 
+ Nếu thỡ và .
+ Nếu thỡ và .
Vớ dụ 12. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt .
Bảng xột dấu
x
0 1 3 4
h(x)
 + 0 – 0 +
.
Vậy .
Vớ dụ 13. Tớnh tớch phõn .
Giải
Đặt .
Bảng xột dấu
x
0 1 2
h(x)
 – 0 +
.
Vậy .
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 
Phương phỏp giải toỏn
1. Dạng 1
Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh (hoặc ) với .
Vớ dụ 14. Chứng minh .
Giải
Với .
2. Dạng 2
Để chứng minh ta chứng minh với .
Vớ dụ 15. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để chứng minh ta thực hiện cỏc bước sau
Bước 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trờn đoạn [a; b] ta được .
Bước 2. Lấy tớch phõn .
Vớ dụ 16. Chứng minh .
Giải
Với .
Vậy .
Vớ dụ 17. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
Vớ dụ 18. Chứng minh .
Giải
Xột hàm số ta cú
.
Vậy .
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh (mà dạng 3 khụng làm được) ta thực hiện
Bước 1. Tỡm hàm số g(x) sao cho .
Bước 2. Tỡm hàm số h(x) sao cho .
Vớ dụ 19. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Đặt 
.
Vậy .
Vớ dụ 20. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG
1. Diện tớch hỡnh thang cong
Cho hàm số liờn tục trờn đoạn [a; b]. Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi cỏc đường và trục hoành là .
Phương phỏp giải toỏn
Bước 1. Lập bảng xột dấu hàm số f(x) trờn đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xột dấu tớnh tớch phõn .
Vớ dụ 1. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi và Ox.
Giải
Do nờn
.
Vậy (đvdt).
Vớ dụ 2. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi và Ox.
Giải
Bảng xột dấu
x
0 1 3
y
 – 0 + 0
.
Vậy (đvdt).
2. Diện tớch hỡnh phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liờn tục trờn đoạn [a; b]. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường là .
Phương phỏp giải toỏn
Bước 1. Lập bảng xột dấu hàm số trờn đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xột dấu tớnh tớch phõn .
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liờn tục trờn đoạn [a; b]. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường là . Trong đú là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trỡnh .
Phương phỏp giải toỏn
Bước 1. Giải phương trỡnh .
Bước 2. Lập bảng xột dấu hàm số trờn đoạn .
Bước 3. Dựa vào bảng xột dấu tớnh tớch phõn .
Vớ dụ 3. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường , .
Giải
Đặt 
 (loại).
Bảng xột dấu
x
0 1 2
h(x)
 – 0 + 0
.
Vậy (đvdt).
Vớ dụ 4. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường .
Giải
Đặt 
.
Bảng xột dấu
x
1 2 3
h(x)
0 + 0 – 0
.
Vậy (đvdt).
Chỳ ý:
Nếu trong đoạn phương trỡnh khụng cũn nghiệm nào nữa thỡ ta cú thể dựng cụng thức .
Vớ dụ 5. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi .
Giải
Ta cú 
.
Vậy (đvdt).
Vớ dụ 6. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi và trục hoành.
Giải
Ta cú 
.
Vậy (đvdt).
Vớ dụ 7. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi và .
Giải
Phương trỡnh hoành độ giao điểm
.
Bảng xột dấu
x
0 1 3 5
 + 0 – 0 +
.
Vậy (đvdt).
Vớ dụ 8. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi .
Giải
Phương trỡnh hoành độ giao điểm
Bảng xột dấu
x
0 1 3
 – 0 +
.
Vậy (đvdt).
Chỳ ý:
Nếu hỡnh phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lờn thỡ vẽ hỡnh (tuy nhiờn thi ĐH thỡ khụng cú).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRềN XOAY
1. Trường hợp 1.
Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường , , và quay quanh trục Ox là .
Vớ dụ 9. Tớnh thể tớch hỡnh cầu do hỡnh trũn quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là .
Phương trỡnh 
.
Vậy (đvtt).
2. Trường hợp 2.
Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường , , và quay quanh trục Oy là .
Vớ dụ 10. Tớnh thể tớch hỡnh khối do ellipse quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là .
Phương trỡnh 
.
Vậy (đvtt).
3. Trường hợp 3.
Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường , và quay quanh trục Ox là .
Vớ dụ 11. Tớnh thể tớch hỡnh khối do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường , quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm .
.
Vậy (đvtt).
4. Trường hợp 4.
Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường , và quay quanh trục Oy là .
Vớ dụ 12. Tớnh thể tớch hỡnh khối do hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường , quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm .
.
Vậy (đvtt).
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
Tớnh I= Áp dụng kết quả đú hóy tớnh tổng sau: 
Tớnh: . Áp dụng kết quả đú hóy tớnh tổng sau:
.
Chứng minh rằng:
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tỡm nguyờn hàm F(x) của hàm số f(x)=, biết rằng 
Tớnh cỏc tớch phõn sau:
	A=	B=	C=
Tớnh cỏc tớch phõn sau:
A=	B=	C*=	D*=
Tớnh cỏc tớch phõn sau:
I=	J=	K=
L=	M=	N=	C=
Tớnh cỏc tớch phõn sau:
A=	B=	C=	
D=	E=
Tớnh cỏc tớch phõn sau:
A=	B*=	C*=
D*= 	E=	
Tớnh:
A=	B=	C=	D=	E=
F=	G=	H=	I=	J=
Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=	b. y=2x; y=3-x và x=0
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=.
Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: y=0, y=x3-2x2+4x-3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm cú hoành độ bằng 2.
Cho hỡnh phẳng D giới hạn bởi cỏc đường y=tanx, x=0, x=p/3, y=0.
Tớnh diện tớch hỡnh phẳng D.
Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh ra bởi hỡnh phẳng D quay quanh trục Ox.
Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh ra bởi hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nú quay quanh:
Trục Ox.
Trục Oy.
-Hết-