Toán học - Chuyên đề Thể tích

Chuyên Đề 
T H Ể T Í C H 
Lưu Tuấn Hiệp 
GVTHPT Lai Vung 2 
Phaàn I. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP – KHOÁI LAÊNG TRUÏ 
Trong tröôøng phoå thoâng , Hình hoïc Khoâng gian laø moät baøi toaùn raát khoù ñoái vôùi hoïc 
sinh, do ñoù hoïc sinh phaûi ñoïc thaät kyõ ñeà baøi vaø töø ñoù xaùc ñònh giaû thuyeát baøi toaùn, veõ 
hình roài tieán haønh giaûi baøi toaùn. 
Cả hai chương trình chuẩn vaø naâng cao đều đề cập đến theå tích cuûa khoái ña dieän ( 
theå tích khoái choùp, khoái laêng truï). 
Thoâng thöôøng baøi toaùn veà hình choùp ñöôïc phaân thaønh 2 daïng nhö sau: 
Cho hình choùp 
Hình choùp coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi maët 
phaúng ñaùy 
A  C 
B 
S 
Ña giaùc ñaùy : 
- Tam giaùc vuoâng 
- Tam giaùc caân 
- Tam giaùc ñeàu 
- Hình vuoâng, chöõ nhaät
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 1  Löu Tuaán 
Hieäp 
Hình choùp ñeàu 
A 
C 
B 
S 
O 
- Hình choùp tam giaùc ñeàu 
- Hình choùp töù giaùc ñeàu 
Thoâng thöôøng baøi toaùn veà hình laêng truï: 
. V B h = 
B: dieän tích ñaùy 
h : ñöôøng cao 
Laêng truï ñöùng ABC.A 1 B 1 C 1 Laêng truï xieân ABC.A 1 B 1 C 1 
A1A ^ (ABC) A1G ^ (ABC) 
HEÄ THOÁNG KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 
A.Các Tính Chất : 
a. Tam giác : 
-  Diện tích của tam giác 
*  µ 1 . . .sin 
2 ABC 
S AB AC A D = 
* 
1 
. . 
2 ABC 
S BC AH D = 
-  Các tam giác đặc biệt : 
o  Tam giác vuông : 
h 
H 
A 
B 
C 
A  C 
B 
B1 
C1 A1 
H 
A1 
B 
C A 
B1 
C1 
G
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 3  Löu Tuaán Hieäp 
+ Định lý pitago:  2 2 2 BC AB AC = + 
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông 
µ = = Ñoái sin 
Huyeàn 
b B 
a 
µ = = Keà cos 
Huyeàn 
c B 
a 
µ = = Ñoái tan 
Keà 
b B 
c 
+ Diện tích tam giác vuông: 
1 
. . 
2 ABC 
S AB AC D = 
o  Tam giác cân: 
+  Đường  cao  AH  cũng  là  đường  trung 
tuyến 
+ Tính đường cao và diện tích 
µ . tan AH BH B = 
1 
. . 
2 ABC 
S BC AH D = 
o  Tam giác đều 
+ Đường cao của tam giác đều 
= = 3 . 
2 
h AM AB 
( đường cao h = cạnh  x 3 
2 
) 
+ Diện tích :  2 
3 
( ) . 
4 ABC 
S AB D = 
c 
a 
b 
C 
B 
A 
A 
B  C H 
B 
A
G 
C 
M
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 4  Löu Tuaán Hieäp 
b. Tứ giác 
-  Hình vuông 
+ Diện tích hình vuông : 
2 ( ) ABCD S AB = 
( Diện tích bằng cạnh bình phương) 
+ Đường chéo hình vuông 
= = . 2 AC BD AB 
( đường chéo hình vuông bằng cạnh x 2 ) 
+ OA = OB = OC = OD 
-  Hình chữ nhật 
+ Diện tích hình vuông : 
. ABCD S AB AD = 
( Diện tích bằng dài nhân rộng) 
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và 
OA = OB = OC = OD 
B.Thể Tích Khối Chóp: 
+ Thể tích khối chóp 
= 1 . . 
3 
V B h 
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy 
h : là đường cao của hình chóp 
Các khối chóp đặc biệt : 
-  Khối tứ diện đều: 
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau 
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều 
+  O là trọng tâm của tam giác đáy 
Và  AO ^  (BCD) 
B 
-  Khối chóp tứ giác đều 
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau 
+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O 
+ SO ^  (ABCD) 
O 
B 
D 
A 
C 
O 
A  B 
D  C 
h 
S 
B 
A 
C 
H 
A 
C 
D 
M 
O 
O 
C 
D 
B A 
S
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 5  Löu Tuaán Hieäp 
C.Góc: 
Cách xác định góc 
-  Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P): 
o  Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P) 
o  Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d / 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và 
góc giữa SC với (ABCD) bằng 45 0 . Hãy xác định góc đó. 
Giải 
Ta có : = ( ) ABCD AC hc SC 
Þ · · · = = = ( ,( )) ( , ) 45 o SC ABCD SC AC SCA 
-  Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) : 
o  Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) 
o  Tìm trong (P) đường thẳng a ^  (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ^  (d) 
o  Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b 
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt bên 
với mặt đáy bằng 60 0 . Hãy xác định góc đó. 
Giải 
Gọi M là trung điểm BC 
Ta có : 
(SBC) Ç (ABCD) = BC 
(ABCD) É AM ^ BC 
(SBC) É SM ^  BC 
( vì 
( ) 
SM 
ABCD 
AM hc = ) 
Þ · · · (( ), ( )) ( , ) 60 o SBC ABCD SM AM SMA = = = 
45 O 
S 
C 
D 
B A 
60 
M O 
S 
A  B 
C
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 6  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 1.1: 
Cho  hình  chóp  S.ABC có  tam  giác ABC  vuông  tại B, AB  = a  2 , AC = a  3 , 
cạnh  bên  SA  vuông  góc  với  mặt  phẳng  đáy  và  SB  =  3 a  .Tính  thể  tích  khối  chóp 
S.ABC 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^  (ABC) và vẽ thẳng đứng 
-  Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông 
§  Lời giải: 
Ta có : AB = a  2 , 
AC = a  3 
SB =  3 a  . 
* D ABC vuông tại B nên  2 2 BC AC AB a = - = 
Þ 
2 
ABC 
1 1 . 2 
S . . 2. 
2 2 2 
a 
BA BC a a D = = = 
* D  SAB vuông tại A có  2 2 SA SB AB a = - = 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
2 3 
. 
1 1 . 2 . 2 
. . . . 
3 3 2 6 S ABC ABC 
a a 
V S SA a = = = 
Baøi Toaùn 1.2: 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông  cân tại B, AC = a  2 , cạnh bên 
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB =  3 a  .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^  (ABC) và vẽ thẳng đứng 
-  Tam  giác ABC  vuông  ,  cân  tại B  nên BA = BC  và  sử  dụng định  lý pitago 
trong tam giác vuông 
§  Lời giải: 
Ta có : AC = a  2 , 
SB =  3 a  . 
* D ABC vuông, cân tại B nên 
2 
2 
AC 
BA BC a = = = 
Þ 
2 
ABC 
1 1 
S . . . 
2 2 2 
a 
BA BC a a D = = = 
* D  SAB vuông tại A có  2 2 SA SB AB a = - = 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
2 3 
. 
1 1 
. . . . 
3 3 2 6 S ABC ABC 
a a 
V S SA a = = = 
A  C 
B 
S 
A  C 
B 
S
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 7  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 1.3: 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với 
mặt phẳng đáy và SB =  5 a  .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^  (ABC) và vẽ thẳng đứng 
-  Tam giác ABC đều có ba góc bằng 60 0  và sử dụng định lý pitago trong tam 
giác vuông SAB 
§  Lời giải: 
* D ABC đều cạnh 2a nên 
AB = AC = BC = 2a 
Þ  0 2 ABC 
1 1 3 
S . .sin 60 .2 .2 . . 3 
2 2 2 
BA BC a a a D = = = 
* D SAB vuông tại A có  2 2 SA SB AB a = - = 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
3 
2 
. 
1 1 . 3 
. . . . 3. 
3 3 3 S ABC ABC 
a 
V S SA a a = = = 
Baøi Toaùn 1.4: 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a  3 ,  ·  0 AC 120 B =  ,cạnh 
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^  (ABC) và vẽ thẳng đứng 
-  Tam giác ABC cân tại A và Â = 120 0 
§  Lời giải: 
* D ABC cân tại A,  ·  0 AC 120 B =  , BC = 2a  3 
AB = AC = BC = 2a 
Xét D AMB vuông tại M có BM = a  3 , Â = 60 0 
Þ AM =  0 
3 
tan 60  3 
BM a 
a = = 
Þ  2 ABC 
1 1 
S . . .2 3 . 3 
2 2 
AM BC a a a D = = = 
* SA = a 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
3 
2 
. 
1 1 . 3 
. . . . 3. 
3 3 3 S ABC ABC 
a 
V S SA a a = = = 
S 
B 
C 
A 
M 
S 
B 
C 
A
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 8  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 1.5: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình  vuông  cạnh a  2 ,  cạnh bên SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy và SC =  5 a  .Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Vẽ  đáy  là  hình  vuông  (  vẽ  như hình  bình  hành),  cao  SA ^  (ABCD)  và  vẽ 
thẳng đứng 
-  ABCD là hình vuông ;  sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông 
§  Lời giải: 
Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a  2 
SC =  5 a  . 
* Diện tích ABCD 
Þ ( ) 2  2 ABCD S 2 2 a a = = 
* Ta có : AC = AB.  2 =  2. 2 2 a a = 
D SAC vuông tại A 
Þ  2 2 SA SC AC a = - = 
* Thể tích khối chóp S.ABCD 
3 
2 
. 
1 1 2 
. . .2 . 
3 3 3 S ABCD ABCD 
a 
V S SA a a = = = 
Baøi Toaùn 1.6: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình  vuông,  cạnh bên SA vuông góc 
với mặt phẳng đáy và SA = AC = a  2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Vẽ  đáy  là  hình  vuông  (  vẽ  như hình  bình  hành),  cao  SA ^  (ABCD)  và  vẽ 
thẳng đứng 
-  Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh 
nhân với  2 ) 
§  Lời giải: 
Ta có : SA = AC = a  2 
* ABCD là hình vuông 
AC = AB.  2 Þ 
2 
AC 
AB a = = 
Diện tích ABCD :  2 ABCD S  a = 
* SA = a  2 
* Thể tích khối chóp S.ABCD 
3 
2 
. 
1 1 . 2 
. . . . . 2 
3 3 3 S ABCD ABCD 
a 
V S SA a a = = = 
A  B 
D 
C 
S 
A  B 
D 
C 
S
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 9  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 1.7: 
Cho  hình  chóp  tam  giác  đều  S.ABC  có  cạnh  đáy  bằng  a  3 ,  cạnh  bên  bằng 
2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O 
+ Gọi M là trung điểm BC 
+ O là trọng tâm của tam ABC 
+ AM là đường cao trong D ABC 
-  Đường cao của hình chóp là SO ( SO ^  (ABC)) 
§  Lời giải: 
* S.ABC là hình chóp tam giác đều 
Gọi M là trung điểm BC 
D ABC đều cạnh  3 a  , tâm O 
SO ^  (ABC) 
SA=SB=SC = 2a 
* D ABC đều cạnh  3 a 
Þ AM = 
3 3 
3. 
2 2 
a 
a = 
Þ 
2 2 3 
AO= . . 
3 3 2 
a 
AM a = = 
Þ 
2 
0 
ABC 
1 1 3 3 . 3 
S . .sin 60 . 3. 3. 
2 2 2 4 
a 
AB AC a a D = = = 
* D SAO vuông tại A có  2 2  . 3 SO SA AO a = - = 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
2 3 
. 
1 1 3 3 . 3 
. . . . 
3 3 4 4 S ABC ABC 
a a 
V S SA a = = = 
§  Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên 
-  Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì 
+ không xác định được vị trí điểm O 
+ không hiểu tính chất của hình chóp đều là SO ^  (ABC) 
+ không tính được AM và không tính được AO 
-  Tính toán sai kết quả thể tích 
A 
C 
B 
S 
M O
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 10  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 1.8: 
Cho hình chóp  tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng  3 a 
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Hình chóp tứ giác đều có 
+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O 
+ SO ^  (ABCD) 
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau 
-  Đường cao của hình chóp là SO ( SO ^  (ABCD)) 
§  Lời giải: 
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều 
ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O 
SO ^  (ABCD) 
SA=SB=SC =SD =  3 a 
* Diện tích hình vuông ABCD 
Þ AC = 2a.  2 
Þ 
AC 2 2 
AO= 2 
2 2 
a 
a = = 
Þ ( ) 2  2 ABCD S 2 4 a a = = 
* D SAO vuông tại O có  2 2 SO SA AO a = - = 
* Thể tích khối chóp S.ABCD 
3 
2 
. 
1 1 4 
. . .4 . 
3 3 3 S ABCD ABCD 
a 
V S SA a a = = = 
§  Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên 
-  Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều 
+ không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông 
+ không SO ^  (ABCD) mà lại vẽ SA D  (ABCD) 
+ không tính được AC và không tính được AO 
-  Tính toán sai kết quả thể tích 
O 
C 
D 
B A 
S
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 11  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 1.9:  Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Tứ diện đều ABCD có các tính chất 
+ tất cả các cạnh đều bằng nhau 
+ tất cả các mặt là các tam giác đều 
+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy 
-  Đường cao của hình chóp là AO ( AO ^  (BCD)) 
§  Lời giải: 
* ABCD là tứ diện đều cạnh a 
Gọi M là trung điểm CD 
Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a 
D BCD đều cạnh a, tâm O 
Þ AO ^  (BCD) 
* D BCD đều cạnh a 
Þ BM = 
3
2 
a 
Þ 
2 2 3 3 
BO= . . 
3 3 2 3 
= = 
a a 
BM 
Þ 
2 
BCD 
. 3 
S 
4 D 
= 
a 
* D AOB vuông tại O có 
( ) 
2 
2 2 2  3 6 
3 3 
æ ö 
= - = - = ç ÷ ç ÷ 
è ø 
a a 
AO AB BO a 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
2 3 1 1 3 6 . 2 
. . . . 
3 3 4 3 12 
= = = ABCD BCD 
a a a 
V S AO 
Baøi Toaùn 1.10: 
Cho  lăng  trụ  đứng  ABC.A / B / C /  có  đáy  ABC  là  tam  giác  vuông  tại  B,  AB=a, 
AC=a 3 , cạnh A / B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ 
Giải 
* Tam giác ABC vuông tại B 
Þ BC = 2 2 2 AC AB a - = 
Þ 
2 1 2 
. 
2 2 ABC 
a S AB BC = = 
* Tam giác A / AB vuông tại A 
Þ / / 2 2 3 A A A B AB a = - = 
* = = / / / 
3 
/ 
. 
6 
. 
2 ABC ABC A B C 
a V S A A 
A 
C 
D 
B 
M 
O 
2a 
a  3 
a 
B / 
C / A / 
A  C 
B
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 12  Löu Tuaán Hieäp 
Dạng 2. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP- KHỐI LĂNG TRỤ 
LIEÂN QUAN ÑEÁN GOÙC 
Trong chöông trình Toaùn phoå thoâng , Hình hoïc Khoâng gian ñöôïc phaân phoái hoïc ôû 
cuoái naêm lôùp 11 vaø ñaàu naêm lôùp 12, kieán thöùc veà goùc ( goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët 
phaúng ; goùc giöõa hai maët phaúng) ñöôïc hoïc vaøo cuoái naêm lôùp 11 vaø ñeán ñaàu naêm lôùp 12 
seõ ñöôïc vaän duøng vaøo baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái choùp, khối lăng trụ. Ñoù laø moät vaán 
ñeà raát khoù ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 12 khi vaän duïng vì ña soá hoïc sinh queân vaø khoâng bieát 
caùch vaän duïng, töø ñoù ña soá hoïc sinh ñeàu boû hoaëc laøm sai baøi toaùn tính theå tích cuûa khoái 
choùp , khối lăng trụ trong caùc kyø thi hoïc kyø, thi Toát nghieäp THPT 
ÔÛ ñaây, toâi heä thoáng laïi moät soá sai laàm maø hoïc sinh thöôøng gaëp khi giaûi baøi toaùn 
tính theå tích lieân quan ñeán giaû thuyeát veà goùc 
Goùc 
Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 
A  C 
B 
S 
Xaùc ñònh Goùc giöõa SB vaø (ABC) 
Ta coù : 
( ) 
SB 
ABC 
AB hc = 
Þ · · · ( , ( )) ( , ) SB ABC SB AB SBA = = 
Goùc giöõa hai maët phaúng 
A 
C 
B 
S 
M O 
Xaùc ñònh goùc giöõa (SBC) vaø 
(ABC) 
Ta coù : (SBC) Ç (ABC) = BC 
SM ^ BC 
AM ^ BC 
Þ 
· · · (( ), ( )) ( , ) SBC ABC SM AM SMA = = 
Chuù yù : Xaùc ñònh hai ñöôøng thaúng 
naèm trong hai maët phaúng vaø 
cuøng vuoâng goùc vôùi giao 
tuyeán taïi moät ñieåm
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 13  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 2.1: 
Cho hình chóp S.ABC có  tam giác ABC vuông  tại B, AB = a,  ·  0 60 ACB =  ,  cạnh 
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB  tạo với mặt đáy một góc bằng 45 0  .Tính 
thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^  (ABC) và vẽ thẳng đứng 
-  Xác định góc giữa SB và  (ABC)  là góc giữa SB với  hình  chiếu  của nó  lên 
(ABC) 
§  Lời giải: 
* Ta có : AB = a , 
( ) 
SB 
ABC 
AB hc = 
Þ · · · ( , ( )) ( , ) 45 o SB ABC SB AB SBA = = = 
* D ABC vuông tại B có AB = a,  ·  0 60 ACB = 
Þ  0 
3 
tan 60 3 3 
AB a a 
BC = = = 
Þ 
2 
ABC 
1 1 3 . 3 
S . . . 
2 2 3 6 
a a 
BA BC a D = = = 
* D SAB vuông tại A có AB= a,  µ  0 45 B = 
Þ  . tan 45 o SA AB a = = 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
2 3 
. 
1 1 . 3 . 3 
. . . . 
3 3 6 18 S ABC ABC 
a a 
V S SA a = = = 
Baøi Toaùn 2.2: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 0  .Tính thể tích 
khối chóp S.ABCD 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^  (ABC) và vẽ thẳng đứng 
-  Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC 
lên (ABCD) 
§  Lời giải: 
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , 
( ) 
SC 
ABCD 
AC hc = 
Þ · · · ( , ( )) ( , ) 60 o SC ABCD SC AC SCA = = = 
* Diện tích hình vuông 
Þ  2 ABCD S  a = 
* D SAC vuông tại A có AC=  2 a  ,  µ  0 60 C = 
Þ  . tan 60 6 o SA AC a = = 
* Thể tích khối chóp S.ABCD 
3 
2 
. 
1 1 . 6 
. . . . 6 
3 3 3 S ABCD ABCD 
a 
V S SA a a = = = 
45  60 
S 
B 
C 
A 
60 
A  B 
D 
C 
S
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 14  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 2.3: 
Cho hình chóp S.ABC có  tam giác ABC vuông tại B, AB =  3 a  , BC = a, cạnh 
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc 
bằng 60 0  .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
§  Sai lầm của học sinh: 
-  Gọi M là trung điểm BC 
-  Ta có AM ^  BC 
SM ^  BC 
Þ · · · (( ), ( )) ( , ) 60 o SBC ABC SM AM SMA = = = 
(Hình vẽ sai) 
§  Lời giải đúng: 
* Ta có : AB =  3 a  , 
(SBC) Ç (ABC) = BC 
AB ^ BC ( vì D ABC vuông tại B) 
SB ^  BC ( vì 
( ) 
SB 
ABC 
AB hc = 
Þ · · · (( ), ( )) ( , ) 60 o SBC ABC SB AB SBA = = = 
* D ABC vuông tại B có AB =  3 a  ,BC =a 
Þ 
2 
ABC 
1 1 . 3 
S . . 3. 
2 2 2 
a 
BA BC a a D = = = 
* D SAB vuông tại A có AB= a,  µ  0 60 B = 
Þ  . tan 60 3 o SA AB a = = 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
2 3 
. 
1 1 . 3 . 3 
. . . .3 
3 3 2 2 S ABC ABC 
a a 
V S SA a = = = 
§  Nhận xét: 
-  Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60 o  , do đó mất 0.25 điểm 
-  Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ 
cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC 
o  Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với 
đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai 
vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến 
o  Nếu  đáy  là một  tam  giác  cân  (đều)  và SA  vuông  góc  với  đáy  hoặc  là  hình 
chóp đều  thì góc giữa mặt bên và mặt đáy  là góc ở tại vị  trí  trung điểm của 
cạnh giao tuyến. 
60 
M 
S 
B 
C 
A 
60 
S 
B 
C 
A
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 15  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 2.4: 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC =  2 a 
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) 
một góc bằng 45 0  .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Giải 
§  Sai lầm của học sinh: 
Þ · · (( ), ( )) 45 o SBC ABC SBA = = 
§  Lời giải đúng: 
* Ta có : AB =  3 a  , 
(SBC) Ç (ABC) = BC 
Gọi M là trung điểm BC 
AM ^ BC ( vì D ABC cân tại A) 
SM ^  BC ( vì 
( ) 
SM 
ABC 
AM hc = 
Þ · · · (( ),( )) ( , ) 45 o SBC ABC SM AM SMA = = = 
* D ABC vuông cân tại A có ,BC =  2 a 
Þ AB = BC = a và AM = 
2
2 
a 
Þ 
2 
ABC 
1 1 
S . . . 
2 2 2 
a 
AB AC a a D = = = 
* D  SAM vuông tại A có AM=  2
2 
a 
,  ¶  0 45 M = 
Þ 
2 
. tan 45 
2 
o  a SA AB = = 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
2 3 
. 
1 1 2 . 2 
. . . . 
3 3 2 2 12 S ABC ABC 
a a a 
V S SA = = = 
45 
M 
S 
B 
C 
A
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 16  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 2.5: 
Cho  lăng  trụ  đứng  ABC.A / B / C /  có  đáy  ABC  là  tam  giác  vuông  tại  B, 
AB=a, BC =  2 a  , mặt bên (A / BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30 0  .Tính thể tích 
khối lăng trụ. 
Giải 
* Ta có A / A ^  (ABC) 
/ ( ) ( ) A BC ABC BC Ç = 
AB ^  BC 
Mà AB = / ( ) A B ABC hc  nên A 
/ B ^  BC 
Þ · ( ) · / / 0 ( ),( ) 30 A BC ABC A BA = = 
* Tam giác ABC vuông tại B 
Þ 
2 1 2 
. 
2 2 ABC 
a S AB BC = = 
* Tam giác A / AB vuông tại A Þ / 0 
3 
.tan 30 
3 
a A A AB = = 
* / / / 
3 
/ 
. 
6 . 
6 ABC ABC A B C 
a V S A A = = 
Baøi Toaùn 2.6: 
Cho  lăng trụ ABC.A / B / C /  có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3  , hình 
chiếu vuông góc của A /  lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, 
cạnh A / A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. 
Giải 
* Gọi M là trung điểm BC 
G là trọng tâm của tam giác ABC 
Ta có A / G ^  (ABC) 
GA = / ( ) A A ABC hc 
Þ · ( ) · / / 0 ,( ) 30 A A ABC A AG = = 
* Tam giác ABC đều cạnh 2a 3 Þ ( ) 2 2 3 2 3 . 3 3 4 ABC S a a = = 
* Tam giác A / AG vuông tại G có  µ 0 2 2 3 30 , .2 3. 2 
3 3 2 
A AG AM a a = = = = 
Þ / 0 2 3 .tan30 
3 
a A G AG = =  .Vậy / / / / 3 . . 6 ABC ABC A B C V S A A a = = 
30 0 
A /  C / 
B / 
a  a  2 
2a 
B 
C 
A 
30 0 
2a  3 
C / A / 
B / 
M 
A  C 
B 
G
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 17  Löu Tuaán Hieäp 
Dạng 3. TỶ SỐ THỂ TÍCH 
- Việc  tính  thể  tích  của một  khối  chóp  thường học  sinh  giải  bị  nhiều  sai  sót,  Tuy 
nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối 
chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau: 
+ Cách 1: 
o  Xác định đa giác đáy 
o  Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt 
phẳng đáy) 
o  Tính thể tích khối chóp theo công thức 
+ Cách 2 
o  Xác định đa giác đáy 
o  Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện 
tích đáy  (nếu  cùng đường  cao)  của khối chóp  “nhỏ” và khối  chóp đã 
cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho 
+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích 
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S 
và góc ở đỉnh S 
Ta có :  . 
. 
. . S MNK 
S ABC 
V  SM SN SK 
V SA SB SC 
= 
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối 
chóp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên 
Chương Trình Chuẩn  Chương Trình Nâng Cao 
­ Không  trình  bày  khái  niệm  tỷ  số  thể 
tích của 2 khối chóp 
Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích của 
2 khối chóp 
n 
B 
C 
A 
S 
N 
K M
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 18  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 3.1: 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với 
mặt phẳng đáy và SA =  3 a  . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể 
tích khối chóp S.AMN 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Hướng dẫn học sinh tính  thể  thể  tích một khối chóp “nhỏ” dựa  trên dữ kiện 
liên quan đến khối chóp đã cho 
§  Lời giải: 
Cách 1: (dùng công thức thể tích 
1 
. . 
3 
V S h =  ) 
* Khối chóp S.AMN có 
­Đáy là tam giác AMN 
­ Đường cao là SA 
* D AMN có Â = 60 0 , AM=AN = a 
Þ 
2 
0 
AMN 
1 1 3 . 3 
S . .sin 60 . . . 
2 2 2 4 
a 
AM AN a a D = = = 
* SA =  3 a 
* Thể tích khối chóp S.ABC 
2 3 
. 
1 1 . 3 
. . . . . 3 
3 3 4 4 S AMN AMN 
a a 
V S SA a = = = 
Cách 2 : ( Dùng công thức tỷ số thể tích) 
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A 
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có 
. 
. 
AS 1 1 1 
. . 1. . 
AS 2 2 4 
A SMN 
A SBC 
V  AM AN 
V AB AC 
= = = 
Þ  . . . . 
1 
. 
4 4 
S ABC 
S AMN A SMN A SBC 
V 
V V V = = = 
Ta có : 
2 
3 
. 
1 1 4 . 3 
. . . . . 3 
3 3 4 S ABC ABC 
a 
V S SA a a = = = 
Vậy 
3 
. 
.  4 4 
S ABC 
S AMN 
V  a 
V = = 
§  Nhận xét: 
-  Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã 
cho và khi đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai. 
-  Trong một số bài toán thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn. 
N 
M 
A 
C 
B 
S
Toaùn 12  Theå Tích Khoái Ña Dieän – Maët Troøn Xoay 
Taøi lieäu löu haønh noäi boä 19  Löu Tuaán Hieäp 
Baøi Toaùn 3.2: 
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với 
mặt phẳng đáy và SA =  3 a  . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể 
tích khối chóp S.AMN và A.BCNM 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Hướng dẫn học sinh tính  thể  thể  tích một khối chóp “nhỏ” dựa  trên dữ kiện 
liên quan đến khối chóp đã cho 
§  Lời giải: 
( Dùng công thức tỷ số thể tích) 
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S 
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có 
. 
. 
SA 1 1 1 
. . 1. . 
SA 2 2 4 
S AMN 
S ABC 
V  SM SN 
V SB SC 
= = = 
Þ 
2 
3 
. 
. 
1 
. 3. 3 
3 
4 4 4 
S ABC 
S AMN 
a a V  a 
V = = = 
Þ 
3 
. . 
3 3 
.
4 4 A BCNM S ABC 
a 
V V = = 
Baøi Toaùn 3.3: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông 
góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a  . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp 
I.ABCD 
Giải 
§  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: 
-  Hướng dẫn học sinh tính  thể  thể  tích một khối chóp “nhỏ” dựa  trên dữ kiện 
liên quan đến khối chóp đã cho 
§  Lời giải: 
Gọi O là giao điểm AC và BD 
Ta có : IO // SA và SA ^  (ABCD) 
Þ  IO ^  (ABCD) 
Þ  . 
1 
. . 
3 I ABCD ABCD 
V S IO = 
Mà :  2 ABCD S a = 
2 
SA 
IO a = = 
Vậy 
3 
2 
. 
1 
. . 
3 3 I ABC