Tài liệu ôn tập hè khối 10 môn Toán - Phần 2: Biến đổi lượng giác

RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A- CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.
I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
sin
0
1
0
–1
0
cos
1
0
–1
0
1
tan
0
1
–1
0
0
cot
1
0
–1
0
I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:
	1. Công thức quy đổi độ – Rađian: ( a tính bằng độ, tính bằng rad)
	2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian.
	 sđ(ox, ot) = a0 + k3600 hoặc sđ(ox, ot) = + k2, k Î Z. (với 00 £ a < 3600 , 00 £ < 2p)
	sđ AB = a0 + k3600 hoặc sđ AB = + k2, k Î Z.	( với 00 £ a < 3600 , 00 £ < 2p)
	3. Công thức tính độ dài cung: l = .R ( tính bằng rad)
II.	NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1:
	1.	Hằng đẳng thức lượng giác:
	Ÿ	sin2x + cos2x = 1Û Û 
	Ÿ	1+tan2x =Û cos2x = Û cosx = 
	Ÿ	1+cot2x =Û sin2x = Û sinx = 
	Ÿ	tanx.cotx = 1 Û tanx = Û cotx = 
	±	Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu (±) , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác.
Cung liên kết:
–x
 – x
– x
+ x
 + x
sin
–sinx
sinx
cosx
–sinx
cosx
cos
cosx
–cosx
sinx
–cosx
–sinx
tan
–tanx
–tanx
cotx
tanx
–cotx
cot
–cotx
–cotx
tanx
cotx
–tanx
	3.	Chú ý: 
a + b = p º 1800
cosb = –cosa
sinb = sina
a + b = º 900
cosb = sina
sinb = cosa
DABC
sin(B + C) = sinA
cos(B + C) = –cosA
tan(B + C) = – tanA
sin(x + k2p) = sinx
cos(x + k2p) = cosx
tan(x + kp) = tanx
cot(x + kp) = cotx
III.	NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2:
	1.Công thức cộng:
	cos(a ± b) = cosa.cosb sina.sinb	sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa
	tan(a ± b) = 
	2.Công thức nhân:
	cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a = 
	sin2a = 2sina.cosa = ; 	tan2a = 
	3.Công thức hạ bậc:
	 ; ; 
	4.Công thức tính theo t : 
	5.	Công thức biến đổi tích thành tổng:
	2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 	2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
	2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
	6.	Công thức biến đổi tổng thành tích:
	 tana + tanb = 
	 tana – tanb = 
Hệ quả: cosx + sinx = 	cosx – sinx = 
III.	HỆ THỨC LƯỢNG TRONG DABC:
	1.	Định lý hàm số sin và cos:
	2.	Chuyển cạnh sang góc:
	 a = 2RsinA	 b = 2RsinB	 c = 2RsinC
	3.	Chuyển góc sang cạnh: 	 
	4.	Công thức diện tích: 
	 , với 
	 R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp DABC
	5.	Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của DABC:
	 (ma, mb, mc - độ dài trung tuyến)
	 (la, lb, lc - độ dài phân giác)
B. BÀI TẬP.
VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính giá trị lượng giác của cung sau.	
1) sina = với 0 < a < 	2) tana = - với < a < 
3) cosa = với - < a < 0	4) sina = với a Î (, p ) 5) tana = 2 với aÎ (p, )
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin2x + tan2x = - cos2x	2) tan2x - sin2x = tan2xsin2x	3) 
4) = sin2xcos2x	5) = 1
6) cosx + cos(2p/3 - x) + cos(2p/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a
8) = tan(a +b)tan(a - b)	9) cos3xsinx - sin3xcosx = sin4x	
10) = - tan2x	11) = -tan2	
12) sin3xcos3x + sin3xcos3x = sin4x	13) sinx - sin2x +sin3x = 4coscosxsin 	
14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x	15) 	
3. Rút gọn các biểu thức sau: 
1) A = sin(x + ) - 3cos(x - ) + 2sin(x + p )	2) B= 
3) 4) D= 2cosa-3cos(p+a)-5sin(p/2-a)+cot(- a) 
5) cos(p - a) - 2sin(3p/2 + a) + tan(- a ) + cot(2p - a)
4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a	2) B = cos4a - sin4a + 2sin2a
3) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a)	4) D = - 
5) E = + 	6) F = cos2a + sin(300 + a)sin(300- a)
7) G = sin6a + cos6a + 3sin2acos2a	8) H = 	
9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)	
 Trong đó a - b kp và m 1 thì biểu thức: 
 A = + (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A = 
3) Biết = . Tính tana.tanb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) k2p tính tan.tan 
5) Tính sin2x nếu: 5tan2x - 12tanx - 5 = 0 ( < x < )
6. Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức :
1) A = cos200cos400cos600cos800	2) B = cos.cos.cos
3) C = sin60.sin420.sin660.sin780	4) Tính: E = sin50.sin150sin250.sin350. ...... sin850 
5) Tính: F = sin.sin.sin.sin. sin 	6) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970
7) A = tan1100 + cot200	8) Tính sin150 và cos150
8) A = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o 	b) B = - 2sin70o	, M = cos - cos 
	c) C = sin4 + sin4 + sin4 + sin4	d) D = tan2 + tan2 + tan2
	e) E = tan9o - tan27o - tan63o + tan81o.	f) F = cos6 + cos6+ cos6+ cos6
	g) G1 = sin18o.cos18o; G2 = sin36o.cos36o	h) H = cos + cos + cos 
	i) I = sin + sin + sin + cos	k) K = cos + cos + cos + cos
9. Với a ≠ kp (k Î Z) chứng minh:
	a) cosa.cos2a.cos4a...cos16a = 	b) cosa.cos2a.cos4a....cos2na = 
10. Tính: A = cos20o.cos40o.cos60o.	11. Tính: A = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o.
12. Tính: A = cos. cos. cos. 13. Tính: cos. cos. cos. cos. cos. cos.
14.Tính: sin.sin.sin.sin. sin.	15. Tính: cos.cos.cos.cos....cos.
16. Tính: sin5o. sin15o .sin25o... sin85o.	 17. Tính: 96.sin.cos. cos. cos. cos.
18. Tính: 16.sin10o.sin30o.sin50o.sin70o.	19. Tính: sin10o.sin20o.sin30o....sin80o.
20. Tính: cos9o. cos27o. cos45o. cos63o. cos81o. cos99o. cos117o. cos135o. cos153o. cos171o.
21. Tính: A = cos + cos	 B = cos + cos
7. Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin( - x)sin( + x) = sin3x	2) 4cosx.cos( - x)cos( + x) = cos3x
3) tanx.tan( - x)tan( + x) = tan3x	4) cosa.cos2a.cos4a .......... cos2na = 
5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) +......+(-1)n. cos(a +nx).
thì nhân 2 vế với 2cos nếu cos 0.
8.Các bài tập khác:
1. Chứng minh rằng :
a) = 	b) = 
2. Rút gọn các biểu thức sau:
	a) A = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x	b) B = [1 + ]
c) C = cos3x.cos3x - sin3x.sin3x
3. Chứng minh rằng :
	a) 4.cosx.cos( - x).cos( + x) = cos3x.	b) 4.sinx.sin( - x).sin( + x) = sin3x.
c) tanx.tan( - x).tan( + x) = tan3x. Áp dụng tính: 
A = sin20o.sin40o.sin80o. B = cos10o.cos20o.cos30o....cos80o. C = tan20o.tan40o.tan60o.tan80o.
4. Chứng minh rằng :
a) sin6x + cos6x = + cos2x 	b) tanx = 	Áp dụng tính: 
A = sin6() + cos6()	B = tan2() + tan2(3.) + tan2(5.)
5. Chứng minh rằng: 
 a) sin4x = 	b) sin8x + cos8x = 
Áp dụng tính A = sin8() + cos8() 	 B = sin4() + sin4(3.) + sin4(5.) + sin4(7.)
6. Tính: cos() + cos() + cos() 	22. Tính cos() + cos() + cos() + cos() 
7. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb.	24. CMR: = 
VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 
 + A + B + C = p 	 + < c < a + b	 + a2 = b2 + c2 - 2a.b.cosC 
 + 	 + S = 
 S = 	 Trong đó: p = 
 r: bán kính đường tròn nội tiếp	 ra: bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A.
+ Đường trung tuyến :
ma2 = 	mb2 = 	mc2 = 
+ Đường phân giác:
la = 	lb = 	la = 
	+ Mở rộng định lí sin và cosin:
cotA = 	cotB = 	cotC = 
II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1. sinA + sinB + sinC = 4cos.cos.cos.	2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
3. sin3A+sin3B+sin3C = -4coscoscos.	4. sin4A+sin4B+sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin.4sin.4sin.	6. cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC.
7. cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sinsinsin.	8. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC.
9. cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C.	10. tan2A +tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C.
11. cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1	12. tantan+ tantan+ tantan=1
13. cot+cot+ cot= cotcotcot.	 14. cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.
15. cos22A + cos22B + cos22C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C. 16. + + = (a2 + b2 + c2).
17. la = = .	18. r = p.tantantan = .
19. R = .	20. r = 4R.cos. cos. cos.
III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:
S = = (a2sin2B + b2sin2A) = p2.tantantan = 2R2.sinA.sinB.sinC.
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot +(c - a)cot + (a - b)cot = 0.
c) (b2 - c2)cotA +(c2 - a2)cotB+(a2 - b2)cotC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC.
e) sin = cos.	f) cos = sin. g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2sin2. 	i) = + + . 
3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC.	b) tan. tan = .
4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos. cos. cos.	b) IA.IB.IC = 4Rr2. c) cosA + cosB + cosC = 1 + 
5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d = r(tan - tan)
6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. CMR : b2 + c2 = 5a2.
7. Chứng minh rằng: + = + + .
8. Ch. minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotC = 2(cotA + cotB).
9. Cho = ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC.
10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi a = . Chứng minh rằng:
a) cota = .	b) cota = cotC - cotB.	c) cota = 
11. Chứng minh rằng là nghiệm của phương trình:
	(1 + x2 -2xcosA)(b2 - bc) = a2(1 - x).
12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x2 - 2x +2); 
(x2 + 2x + 2). Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại.
13. Cho ma = c. Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB.	b) tanB = 3tanC.	c) sinA = 2sin(B - C).
14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước. CMR :a) tanB.tanC = 1 + k.	b) tanB + tanC = ktanA	 c) cos(B - C) = (1+)cosA.
15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 
Chứng minh rằng : cot cot = 3.	
16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6; =3. Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng.
17. Tam giác ABC có cot, cot, cot theo thứ tự lập một cấp số cộng. CMR : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp số cộng.
18. Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a2, b2, c2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC. Chứng minh rằng :
a) tanB.tanC = 3.	b) cos(B- C) = 2cosA.
IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
1. atanA+btanB =(a+b)tan 2. 2tanB + tanC = tan2B.tC.	3. 
4. 	5. 
6. sin	7. (p - b)cot 	8. 
9. a2sin2B +b2sin2A=c2cot	10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
11. 	12. a = 2b.cosC. Chứng minh D ABC cân tại A. 
B. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
1. 	2. (b2 + c2)sin(C-B) = (C2 - B2)sin(B- C) 
3. 	4. sin(B - C)=
V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1. cos2a + cos2B + cos2C = -1	2. tan2A + tan2B + tan2C = 0
3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC 
B. Chứng minh tam giác vuông khi:
 1. 	 2. cot = 	 3. 
 4. 	 5. cot2C = 	 6. 
 7. 	 8. sin = 	 9. cos	10. tan
 11. cos(B - C) = 	 12. S = 	 13. 
 14. 1 + cot(450 - B) = 	 15. sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B)
 16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15	17. cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 
C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
 1. sin3A + sin3B + sin3C = 0 	 	 2. sin4A + sin4B + sin4C = 0
 3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
 4. a3 = b3 + c3	 5. c = Ccos2B + Bsin2B	 6. (1+cotA)(1 + cotB) = 2
 7. sin2A + sin2B =5sin2C	 8. 	 9. sin2A + sin2B + sin2C £ 2
 10. cos2A + cos2B + cos2C £ 1	
 11. Ch.minh nếu D ABC có: sin = sin.sin thì tan. tan = và ngược lại.
 12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a2 = bc + c2
 13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD. Chứng minh rằng tanB.tanC = 2.
 14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
 Chứng minh rằng: sin.sin = lb. 
 15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi a là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng: tan = tan 
 16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
 	a) tgB = 3tgC 	b) sin A = 2sin(B - C)
 17. Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức. 
 18. Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. CMR: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2
 Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?
VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Hàm lồi lõm. ( Không có trong chương trình HS dùng tham khảo)
 + Tính chất hàm lồi: , "x, y Î R 
 + tính chất hàm lõm: , "x, y Î R 
 B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. sinA + sinB +sinC £ 	2. 1 < sin + sin + sin £ 
3. 1 < cosA + cosB + cosC £ 	4. Sin2A + Sin2B + Sin2C ≥ 
5. 2 < cos2 + cos2 + cos2 £ 	6. £ sin2 + sin2 + sin2 < 1.
7. sin. sin. sin £ 	8. sinA.sinB.sinC £ 
9. cosA.cosB.cosC £ 	10. cos. cos. cos £ 
11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥ .sinA.sinB.sinC	12. + + ≥ 6
13. + + ≥ 6	14. £ 
15. (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) ≥ 5 + 
16. tan + tan + tan ≥ 	17. tan2 + tan2 + tan2 ≥ 1
19. tanA + tanB + tanC ≥ 3. (Với DABC nhọn).	20. tan2A + tan2A + tan2A ≥ 9. (Với DABC nhọn.)
21. tantantan ≥ 	 22. cos3A + cos3A + cos3A £ + (cos3A + cos3B + cos3C).
23. 36r2 £ ab + bc + ca £ 9R2.	24. (a + b + c)(ha + hb + hc) ≥ 18S.
25. ha + hb + hc ≥ 9r ( = + + )	26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) £ abc
27. a2(b+c-a)+ b2(a+c-b)+c2(a+b- c) £ 3abc.	 28. a(b2+c2-a2)+b(a2+c2-b2)+c2(a2+b2-c2) £ 3abc
29. a(b-c)2 + b(c-a)2 +c(a -b)2 +4abc≥ a3 +b3+c3 	30. + + £ 6R.
31. + + ≥ 3	32. + + ≥ 
33. a4 + b4 + c4 ≥ 16S2.	34. tg + tg + tg + cotg + cotg + cotg ≥ 4
35. a2 + b2 + c2 ≥ 4S	36. a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ 16S2.
CHỨNG MINH DABC ĐỀU KHI THÕA MÃN CÁC ĐIỀU KIỆN SAU
1. R = 2r	2. S = R2(sin3A + sin3B + sin3C)	3. = 
	5. 	6. 
7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tanx - tan = 
8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c	 9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.
10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0	11. cot2A + cot2B + cot2C = 1
12. = 	13. 
14. = 3.cotA.cotB.cotC, với DABC nhọn 
15. 3tan2A + tan2B + tan2C = tan2A. tan2B. tan2C 	16. ++ = 
17. cot + cot + cot = tanA + tanB + tanC. 
18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cot + cot cot = 9 Chứng minh D ABC là tam giác đều.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: (A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều.
20. Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là: p + R = (2 + 3).r 
21. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC + (sinA + cosB + cosC) = 
 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh.
22. Các góc của tam giác ABC thỏa mãn: cotA + cotB + cotC = tan + tan + tan 
 Chứng minh tam giác ABC đều.
23. CMR,tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện: sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C 
 thì tam giác ABC là tam giác đều.
25. Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn:
 . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
26. CMR, nếu D ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều.
27. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn: 
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
28. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ thức: 
cos2A + (cos2B + cos2C) + = 0
29. Cho tam giác ABC thỏa : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB. CMR, D ABC vuông.
30. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi: 	
31. CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó đều là nghiệm của phương trình: 	
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------