Ôn tập về hàm số bậc 3

OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3

(Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)

Giaû söû : y = ax3 + bx2 + cx + d vôùi a ¹ 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1)	y” = 0 Û x = (a ¹ 0 )
	x = laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng.

2)	Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau :
i)	a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)
ii)	a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm)
iii)	a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
	Þ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.
	Ngoaøi ra ta coøn coù :
	+ 	x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.
	+	haøm soá taêng treân (-¥, x1)
	+ 	haøm soá taêng treân (x2, +¥)
	+	haøm soá giaûm treân (x1, x2)
iv)	a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
	Þ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù :
	+	haøm soá giaûm treân (-¥, x1)
	+	haøm soá giaûm treân (x2, +¥)
	+	haøm soá taêng treân (x1, x2)

3)	Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø haèng soá khaùc 0;
	thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q

4)	(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät
	Û 

5)	Giaû söû a > 0 ta coù :
i)	(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät > a
	Û 
ii)	(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät < a
	Û 
Töông töï khi a < 0 .
6)	Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M Î (C).
	Neáu M º I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.
	Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
	Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu tröôøng hôïp hôn.

7)	(C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau Û y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán)

8)	Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ¹ 0) khi x = a laø 1 nghieäm cuûa (1).
	Neáu x = a laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù 
	ax3 + bx2 + cx + d = (x - a)(ax2 + b1x + c1)
	nghieäm cuûa (1) laø x = a vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau:
i)	neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = a
ii)	neáu (2) coù nghieäm keùp x = a thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = a
iii)	neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät ¹ a thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät
iv)	neáu (2) coù 1 nghieäm x = a vaø 1 nghieäm khaùc a thì (1) coù 2 nghieäm.
v)	neáu (2) coù nghieäm keùp ¹ a thì (1) coù 2 nghieäm
BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3
	Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (Cm) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình laø 
 y = -x3 + mx2 - m vaø y = kx + k + 1.
	(I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
1)	Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C).
2)	Goïi D laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C) veõ töø E Î D vôùi (C).
3)	Tìm E Î D ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.
4)	Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh.
5)	Tìm M Î (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C).
	(II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi.
6)	Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy vuoâng goùc nhau.
7)	Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò.
8)	Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
 9)	 Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2). b) haøm soá nghòch bieán trong (0, +¥).
10)	Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng.
11)	Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (Dk) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau.
12)	Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1).
13)	Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.

BAØI GIAÛI

PHAÀN I : m = 3
	Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm)

1) 	Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x Þ heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi M laø k1 = – 3n2 + 6n Î (0, 3] (vì n Î (0, 2)). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M coù heä soá goùc laø k2 = (vôùi 0 < k1 £ 3). Hoaønh ñoä cuûa tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm cuûa – 3x2 + 6x = (= k2) Û 3x2 – 6x = 0. Phöông trình naøy coù a.c < 0, " k1 Î (0, 3] neân coù 2 nghieäm phaân bieät, " k1 Î (0, 3]. Vaäy treân (C) luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M.

2)	E (e, 1) Î D. Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tieáp xuùc (C) Û heä coù nghieäm.
	Þ Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø : 
	– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1	(1)
	Û	– x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
	Û 	(x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
	Û	x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex
	Û	x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0	(2)
	(2) coù D = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
	(2) coù nghieäm x = 2 Û 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 Û e = 2
	Ta coù D > 0 Û e .
Bieän luaän :
i)	Neáu e 2
	Þ	(1) coù 3 nghieäm phaân bieät Þ coù 3 tieáp tuyeán.
ii)	Neáu e = – 1 hay e = hay e = 2
	Þ (1) coù 2 nghieäm Þ coù 2 tieáp tuyeán.
iii)	Neáu – 1 < e < Þ (1) coù 1 nghieäm Þ coù 1 tieáp tuyeán.
Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân phöông trình (1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2, " e.
3)	Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1), " e vaø ñöôøng x = a khoâng laø tieáp tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn.
	Û 	(2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa : y'(x1).y'(x2) = – 1
	Û	
	Û	
	Û	
	Û	e = . Vaäy E 
4)	Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm cuûa : 
	y' = p Û 3x2 – 6x + p = 0 	(3)
	Ta coù	D' = 9 – 3p > 0 Û p < 3
	Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p. 
	Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3).
	Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù :
	
	
	Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M3M4.
5)	Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a ¹ 0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng : 
	 " M Î (C), ta coù :
i)	Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
ii)	Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.
	Caùch 2 : Goïi M(x0, y0) Î (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng :
	y = k(x – x0) (D)
	Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :
	( 5 )
	Û	
	Û	
	Û	
	Û	
	Û	
	Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0) Î (C)
	Û	
	Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán).
 Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x0
Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x2 + 2mx
6)	(Cm) qua (x, y), "m
	Û	y + x3 = m (x2 – 1) , "m
	Û	
	Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1).
	Vì y' = – 3x2 + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi H vaø K coù heä soá goùc laàn löôït laø :
	a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 
	2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau.
	Û	a1.a2 = – 1 Û 9 – 4m2 = – 1 Û m = .
7)	Haøm coù cöïc trò Û y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät.
	Û	3x2 = 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät.
	Û	x = 0 vaø x = laø 2 nghieäm phaân bieät.
	Û	m ¹ 0. Khi ñoù, ta coù :
	
	vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø :
	 (vôùi m ¹ 0)
8)	Khi m ¹ 0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù :
	x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 = 
	Þ	y(x1).y(x2) = 
	= = 
	Vôùi m ¹ 0, ta coù y(x1).y(x2) < 0
	Û 
	Û	 
	Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
	Û	 	
	Û	 
Nhaän xeùt :
i)	Khi thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm aâm vaø 1 nghieäm döông.
ii)	Khi thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm.
9)	a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2) Û – 3x2 + 2mx ³ 0, "x Î (1,2). Neáu m ¹ 0 ta coù hoaønh ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø .
i)	Neáu m < 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân . Vaäy loaïi tröôøng hôïp m < 0
ii)	Neáu m = 0 Þ haøm luoân nghòch bieán (loaïi).

iii)	Neáu m > 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân 
	Do ñoù, ycbt 	Û m > 0 vaø 
	 	Û 
	b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0. 
	Khi m £ 0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân vaø haøm soá cuõng nghòch bieán treân [0, +¥).
	Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +¥) thì m £ 0.
Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn.
10)	y" = – 6x + 2m , y" = 0 Û x = 
	(Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau.
	Û	y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân truïc hoaønh.
	Û	
	Û	
11)	Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (Dk) laø 
	– x3 + mx2 – m = kx + k + 1
	Û	m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3
	Û	x + 1 = 0 Ú m(x – 1) = k + 1 – x + x2
	Û	x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0	(11)
a)	Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät
	Û	(11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1
	Û	
	Û (*)	
b)	Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1) Î (Cm) neân ta coù :
	(Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.
	Þ	(Dk) qua ñieåm uoán cuûa (Cm)
	Þ	
	Þ	 (**)
	Vaäy ycbt Û k thoûa (*) vaø (**).
12)	Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng : 
	y = k(x + 1) + 1	(Dk)
	Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (Dk) vaø (Cm) laø :
	– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1	(12)
	Û	m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3
	Û	x + 1 = 0 Ú m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2
	Û	x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0	(13)
	Û	x = – 1 Ú 
	y' (–1) = – 2m – 3
	 = (m2 – 2m – 3)
	Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø :
	y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
	y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén coù nghieäm laø x = – 1.
13)	Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá goùc laø :
	h = – 3x2 + 2mx
	Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi (hoaønh ñoä ñieåm uoán)
	Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.

Nhaän xeùt : 
Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3
	y = ax3 + bx2 + cx + d, ta coù :
i)	Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát.
ii)	Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.
 
Tiến sĩ .Đỗ Minh Truyền 

(Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)