Luyện thi Toán - Phương trình – Bất phương trình cơ bản

Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 1 --  
1.ph−ơng trình –bất ph−ơng trình cơ bản 
a.ph−ơng trình cơ bản: 
Dạng ph−ơng trình: 



≥
≥
⇔=
)()(
0)(
)()(
2 xgxf
xg
xgxf (nếu g(x) có TXĐ là R) 
b.Bất ph−ơng trình cơ bản: 
Dạng 1: 









≥
≥



<
≥
⇔>
)()(
0)(
0)(
0)(
)()(
2 xgxf
xg
xg
xf
xgxf 
Dạng 2: 
( )
( )
( ) ( )



<
≥
>
⇔<
xgxf
xf
xg
xgxf
2
0
0
)()( 
Chú ý: Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đ−a về dạng cơ bản 
, ta làm nh− sau: 
+ Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa . 
+ Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm . 
+ Bình ph−ơng hai vế . 
+ Tiếp tục cho đến khi hết căn . 
bài tập áp dụng 
Bài 1.1: Giải các ph−ơng trình sau: 
)1(3253.1 −=+ xx 
)2(632.2 xx −=+ 
Giải1: 
Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 








=
=
⇔
=+−
≥
2
7
2
014154
2
3
2
x
x
xx
x
Giải2: 
Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 
3
113
6
03314
6
2
=⇔



=∨=
≤
⇔



=+−
≤
x
xx
x
xx
x
Bài 1.2 Giải ph−ơng trình sau 
)1(1266.1 2 −=+− xxx (ĐH Xây Dựng -2001). 
Giải: 
Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 2 --  
1
1
2
1
)12(66
2
1
22
=⇔




=
≥




⇔
−=+−
≥
x
x
x
xxx
x
Bài 1.3 Giải ph−ơng trình 
321 =++− xx 
Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 
2
)4()2)(1(_
41
4)2)(1(
1
2
=⇔






−=−−
≤≤
⇔
−=+−
≥
⇔ x
xxx
x
xxx
x
Bài 1.4: Giải ph−ơng trình 
231 −=−−− xxx 
Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 
3
326
3
326
3
326
43
0883
43
6524
3
231
3
22
+
=⇔





−
=∨
+
=
≤≤
⇔



=+−
≤≤
⇔



+−=−
≥
⇔



−+−=−
≥
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
--
Bài 1.5: Giải ph−ơng trình 
xxxx −+=−+ 1
3
2
1 2 (ĐHQG Hà Nội 2000) 
Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 








−=−
≤≤
⇔
−+=−+−+
≤≤
22222
3
2
3
2
3
2
10
21
3
4
3
2
3
2
1
10
xxxx
x
xxxxxx
x



=
=
⇔



=∨=
≤≤
⇔



=−−−
≤≤
⇔
1
0
10
10
0)1(
10
22 x
x
xx
x
xxxx
x 
Bài 1.6: Giải ph−ơng trình 
( ) 3428316643 −=−−+ xx 
Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 
( ) 2
2
2
2
4
3
3428316643
4
3
=⇔






=
≥
⇔




−=−−+
≥
x
x
x
xx
x
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 3 --  
Bài 1.7: Giải bất ph−ơng trình: 
27593137 −≤−−− xxx (ĐH DL Ph−ơng Đông -2001) 
Điều kiện: 
5
27
≥x 
Bất ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 




−+−≤−
≥
93275137
5
27
xxx
x
( )( ) ( )( )
23
59
65762229
044345859
23
5
27
23275932
5
27
275932368137
5
27
2
≤≤
+
⇔




≥+−
≤≤
⇔





−≥−−
≥
⇔





−−+−≤−
≥
⇔
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
Bài tập làm thêm: 
Bài 1: (PP BĐ TĐ) 
2 2
2 2
2
2
1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2
3. 4 6 4; 4. 2 4 2
5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0;
7. 1 1;
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x
− + = − − + = −
− + = + + + = −
− + = − − + =
+ + =
Bài 2: (PP BĐ TĐ) 
1. 3 6 3;
2. 3 2 1 3;
3. 3 2 1;
4. 9 5 2 4;
5. 3 4 2 1 3;
6. 5 1 3 2 1 0;
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
+ + − =
− + − =
+ − − =
+ = − +
+ − + = +
− − − − − =
7. 3 4 4 2 ;x x x+ + + = 
8. 5 5 10 5 15 10;x x x− + − = − 
9. 4 1 1 2 ;x x x+ − − = − 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 4 --  
210. 3 2 1 2;
11. 1 5 1 3 2
x x x
x x x
− + − + + =
− − − = −
12. 1 9 2 12x x x+ − − = − 
2 213. 5 8 4 5x x x x+ − + + − = 
2 214. 3 5 8 3 5 1 1x x x x+ + − + + = 
2 215. 9 7 2 5 1 3 2 1x x x x x+ − − = − − − − − 
2 2 2
2
16. 3 6 16 2 2 2 4
3 1 1 4 2
17.
3 9 9
x x x x x x
x
x x x
+ + + + = + +
+
= + +
218. 1 2 5x x x− = − − 
19. 11 11 4x x x x+ + + − + = 
20. 1 1 8x x x+ − = − + 
-------------------------------------------------------------------------- 
 2.ph−ơng pháp Đặt một ẩn phụ 
Dạng 1: Giải ph−ơng trình: 
 ( ) ( ) 0=++ CxfBxAf 
Ph−ơng pháp giải : Đặt ( ) ( ) ( ) 20 txfttxf =⇔≥= ; 
Ph−ơng trình đH cho trở thành : ( )002 ≥=++ tCBtAt 
Làm t−ơng tự với bất ph−ơng trình dạng: ( ) ( ) 0≥++ CxfBxAf 
Dạng 2:Giải ph−ơng trình: 
( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 =++++ CDxgxfBxgxfA 
(Với ( ) Dxgxf =+ )( ) 
Ph−ơng pháp giải : 
Đặt ( ) ( ) ( ) ( )xgxfDtttxgxf 20)( 2 +=⇔≥=+ 
Ph−ơng trình đH cho trở thành : ( )002 ≥=++ tCAtBt 
Làm t−ơng tự với bất ph−ơng trình dạng: 
 ( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 ≥++++ CDxgxfxgxfA 
bài tập áp dụng: 
Bài 2.1: Giải các ph−ơng trình 
)1(75553,1 22 +−=+− xxxx 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 5 --  
)2(3012.2,2 22 =++ xx (ĐH DL Hồng lạc-2001) 
Giải1: )1(75553,1
22 +−=+− xxxx 
Đặt )0(55
2 ≥=+− ttxx 
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 








±
=
=
=
⇔




=+−
=+−
⇔


=
=
⇔=+−
2
215
4
1
455
155
2
1
023
2
2
2
x
x
x
xx
xx
t
t
tt
Giải2: )2(30122,2
22 =++ xx 
Đặt )0(12
2 >+= txt 
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 



−=
=
⇔=−+
)(7
)(6
0422
Lt
tmt
tt 
Vậy 62612
2 ±=⇔=+ xx 
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 2.2: Giải các ph−ơng trình 
)1(4
2
47
.1
2
x
x
xx
=
+
++
 (ĐH Đông đô-2000). 
)2(4324.2 22 xxxx −+=−+ (ĐH Mỏ -2001) 
Giải2: 
 Đặt )0(4
2 ≥−= yxy 
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 



=−+
=−+
⇔



+=+
=+
23
42)(
32
4 222
xyyx
xyyx
xyyx
yx
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 6 --  
Giải hệ đối xứng này ta đ−ợc nghiệm: 








+
−=
=
=
⇔


=∧=
=∧=
3
142
2
0
02
20
x
x
x
yx
yx
Giải1:Điều kiện: 0≥x Đặt )0( ≥= ttx 
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
04874 234 =+−+− tttt 
Giải ph−ơng trình bậc 4 : 
Xét t=0 không là nghiệm 
Xét t ≠ 0 ,chia hai vế cho t2 và đặt )22(
2
≥+= u
t
tu 
Ta đ−ợc ph−ơng trình 


=
=
⇔


=
=
⇔


=
=
⇔=+−
4
1
2
1
3
)(1
0342
x
x
t
t
u
Lu
uu 
Bài 2.3: Giải các bất ph−ơng trình sau 
123342.1 22 >−−++ xxxx (ĐHDL Ph−ơng Đông -2000) 
2)2(4)4(.2 22 <−++−− xxxxx (ĐH QG HCM -1999) 
Giải1: 
Điều kiện: 13 ≤≤− x 
Đặt: )0(23
2 ≥−−= txxt 
Bất ph−ơng trình đH cho trở thành: 
2
5
0
0
2
5
1
0
0532
2
<≤⇔




≤
<<−
⇔



≤
>++−
t
t
t
t
tt
Thay vào cách đặt: 13
0
4
13
2
13
2
≤≤−⇔




≥++
≤≤−
x
xx
x
Giải2: 
2)2(4)4(.2 22 <−++−− xxxxx 
Điều kiện: 40 ≤≤ x 
Đặt: 04
2 ≥+−= xxt 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 7 --  
Thay vào BPT ĐH cho và giải ra ta đ−ợc 1>t 
Thay vào cách đặt ta đ−ợc: 3232 +<<− x 
Bài 2.4: Giải các bất ph−ơng trình sau 
7
2
1
2
2
3
3.1 −+<+
x
x
x
x (ĐH Thái Nguyên -2000) 
3)7)(2(72.2 ≤−++−++ xxxx 
Giải1: Biến đổi bất ph−ơng trình đH cho trở thành: 
( )
09
2
1
3
2
1
2
9
2
1
12)
2
1
(3
2
2
2
>−





+−





+⇔
−








++<+
x
x
x
x
x
x
x
x
Đặt: 2
2
1
≥⇒+= t
x
xt 
BPT đH cho trở thành: 






+>
−<<
⇔>+⇔
>⇔




>−−
≥
7
2
3
4
7
2
3
40
3
2
1
3
0932
2
2
x
x
x
x
t
tt
t
Giải 2: 
Điều kiện: 72 ≤≤− x 
Đặt )0(72 ≥−++= txxt 
Vậy 
2
9
)7)(2(
2 −
=−+
t
xx 
Bất ph−ơng trình đH cho trở thành: 



=
−=
⇔




≤−++
≤≤−
⇔
≤≤⇔≤−+
7
2
9)7)(2(29
72
3001522
x
x
xx
x
ttt
Bài tập. Giải các PT sau: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 8 --  
Bài 1: 
2 2
2 2
2 2
2
1. 3 5 5 5 7;
2. 2 12 30;
3. 13 7;
4. ( 5)(2 ) 3 3 ;
x x x x
x x
x x x x
x x x x
− + = − +
+ =
− − − + =
+ − = +
26. ( 4)( 1) 3 5 2 6;x x x x+ + − + + = 
2 211. 2( 2 ) 2 3 9;x x x x− + − − = 
2 212. ( 3) 3 22 3 7;x x x x− + − = − + 
( )( ) 215. 1 2 1 2 2 ;x x x x+ − = + − 
( )2 216. 2 2 2 3 9 0;x x x x− + − − − = 
2 217. 3 15 2 5 1 2;x x x x+ + + + = 
Bài 2: 
2 25. 3 3 3 6 3;x x x x− + + − + = 
2 27. 5 2 2 5 9 1;x x x x+ + + + − = 
9. 1 4 ( 1)(4 ) 5;x x x x+ + − + + − = 
2 210. 4 2 3 4 ;x x x x+ − = + − 
2 213. 2 5 2 2 5 6 1;x x x x+ + − + − = 
2 214. 3 2 2 6 2 2;x x x x+ + − + + = − 
2 2 218. 4 1 2 2 9;x x x x x x+ + + + + = + + 
2 2 28. 4 8 4 4 2 8 12;x x x x x x+ + + + + = + + 
2 219. 1 2 1 2;x x x x− − + + − = 
2 220. 17 17 9;x x x x+ − + − = 
2221.1 1 ;
3
x x x x+ − = + − 
24 422. 16 6;
2
x x
x x
+ + −
= + − − 
223. 3 2 1 4 9 2 3 5 2;x x x x x− + = = − + − + 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 9 --  
224. 2 3 1 3 2 2 5 3 16;x x x x x+ + + = + + + − 
25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2;x x x x− + − + + + − = 
( ) ( )3 35 526. 7 3 8 7 3 7;x x −− − − = 
2
27. 2 3 2 ;
2 3
x
x x
x
+ + =
+
4 2 228. 1 1 2;x x x x− − + + − = 
2 229. 5 14 9 20 5 1;x x x x x+ + − − − = + 
( )3 230.10 8 3 6 ;x x x+ = − − 
3 231. 1 3 1;x x x− = + − 
232. 1 ( 1) 0;x x x x x x− − − − + − = 
Đặt ẩn phụ để trở thành ph−ơng trình có 2 ẩn: 
* Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ 
nh−ng các hệ số vẫn còn chứa x 
* PP này th−ờng đ−ợc SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT 
còn lại không BD đ−ợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD đ−ợc thì công thức BD 
quá phức tap. 
* Khi đó th−ờng ta đ−ợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số ∆ là 
1 số chính ph−ơng. 
Bài tập. Giải các PT sau: 
Bài 1: 
2 21. 1 2 2 ;x x x x− = − 
2 22. 1 2 2;x x x− = + 
2 23. (4 1) 1 2 2 1;x x x x− + = + + 
2 24. 4 4 (2 ) 2 4;x x x x x+ − = + − + 
2 25. 3 1 (3 ) 1;x x x x+ + = + + 
2 26. (4 1) 4 1 8 2 1;x x x x− + = + + 
27. 4 1 1 3 2 1 1 ;x x x x+ − = + − + − 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 10 --  
2 2
2 2
2
8. 2(1 ) 2 1 2 1;
9. 1 2 4 1 2 1;
10. 12 1 36;
1 1 1
11. 2 1 3 0;
x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x x x
− + − = − −
+ − = − − +
+ + + =
−
+ − − − − =
3.Ph−ơng pháp Đặt hai ẩn phụ 
Dạng 1: Giải ph−ơng trình: 
( ) ( )( ) ( ) 0)( =+++ CxgxfBxgxfA nnn 
(Với ( ) Dxgxf =+ )( ) 
Ph−ơng pháp giải : Đặt: 
( )
( )
Dvu
vxg
uxf
nn
n
n
=+⇒




=
=
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
( )



=+
=+++
Dvu
CBuvvuA
nn
0
Dạng 2: Giải ph−ơng trình: 
( ) ( )( ) ( ) 0)( =++− CxgxfBxgxfA nnn 
(Với ( ) ( ) Dxgxf =− ) 
Ph−ơng pháp giải : Đặt: 
( )
( )
Dvu
vxg
uxf
nn
n
n
=−⇒




=
=
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
( )



=−
=++−
Dvu
CBuvvuA
nn
0
bài tập áp dụng: 
Bài 3.1: Giải ph−ơng trình: 
)x6)(2x(x62x −+=−++ (ĐH Ngoại Ngữ-2001) 
Giải : 
Đặt )0v,u(
vx6
u2x
≥




=−
=+
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
2vu
08uv2)uv(
vuuv
vuuv
8vu
2
22
==⇔



=−−
+=
⇔



+=
=+
Vậy: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 11 --  
2x2x62x =⇔=−=+ 
Bài 3.2:Giải ph−ơng trình: 
13x22x 33 =+−+ (An Ninh-01) 
Giải : 
Đặt: 



=+
=+
v3x
u22x
3
3
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 



−=
=
⇔


−==
==
⇔



=
=−
30x
5x
2u;3v
3u;2v
6uv
1vu
Bài 3.3: Giải ph−ơng trình 
541xx56 44 =++− 
Đặt: )0uv(
v41x
ux56
4
4
≥




=+
=−
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 



=
−=
⇔


==
==
⇔



=+
=+
40x
25x
2v;3u
3v;2u
97vu
5vu
44 
Bài tập làm thêm: Giải các pt: 
20 20
1. 6;
x x
x x
+ −
− = 
42. 6 2 2(1 (6 )( 2);x x x x− + − = − − − 
3
3
3
2 2
33
3. 2 1 1;
4. 9 2 1;
5. 9 1 7 1 4;
6. 3 10 5;
7. 9 ( 3) 6;
x x
x x
x x
x x
x x
− = − −
− = − −
− + + + + =
+ + − =
− = − +
3
3
4 4
2 2
8. 24 12 6;
9. 7 1;
10. 5 1 2;
11. 3 3 3 6 3;
12. 1 8 ( 1)(8 ) 3;
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
+ + − =
+ − =
− = − =
− + + − + =
+ + − + + − =
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 12 --  
3 3
3 3
2 3 3 2
2 23 3 3
(34 ) 1 ( 1) 34
13. 30;
34 1
14. 1 2 (1 ) 1;
15. 1 1 (1 ) 1 2 1 ;
16. 2 2 4;
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
− + − + −
=
− − +
+ − − − = −
 + − − − + = + −
 
+ + + − − =
2 3 3 244 4 417. (1 ) (1 ) 1 (1 );x x x x x x x x+ − + − = − + + − 
3 3
3 3
7 5
18. 6 ;
7 5
x x
x
x x
− − −
= −
− + −
2 2
3 3
sin cos
2 23 3 3
2 2
2 24 4
19. 7 2 3;
20. 81 81 30;
21. sin cos 4;
22. sin 2 sin sin 2 sin 3;
23. 10 8sin 8 s 1 1;
x x
tgx tgx
x x
x x x x
x co x
+ + − =
+ =
+ =
+ − + − =
+ − − =
4 4
1 1
24. cos2 cos2 2;
2 2
x x− + + = 
3 3
3 3
3 3
4 4
3 3
25. 5 7 5 12 1;
26. 24 5 1;
27. 47 2 35 2 4;
28. 47 10 5;
29. 12 14 2;
x x
x x
x x
x x
x x
+ − − =
+ − + =
− + + =
− + + =
− + − =
3 3
4 4
30. 1 7 2;
31. 97 15 4;
x x
x x
+ + − =
− + − =
-------------------------------------------------------------------------- 
 4.Ph−ơng pháp Nhân liên hợp 
Dạng : Giải ph−ơng trình: 
( ) ( ) ( )xhCxgBxfA .=− 
Với ( ) ( ) ( )xhDxgBxfA .22 =− 
Ph−ơng pháp giải : 
Nhân hai vế với biểu thức: ( ) ( )xgBxfA + 
Ta đ−ợc ph−ơng trình ( ) ( ) ( ) ( )( )xgBxfAxhCxhD += .. 
Nhóm nhân tử chung và giải hai ph−ơng trình: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 13 --  
( )
( ) ( )( )

=+
=
DxgBxfAC
xh 0
bài tập áp dụng: 
Bài 4.1: Giải các ph−ơng trình sau: 
)1(
5
3
2314.1
+
=−−+
x
xx
 (ĐH B−u Chính-2001) 
)2(62)22(3.2 ++=−+ xxx (ĐH Quân Sự -2001) 
Giải1: )1(
5
3
2314.1
+
=−−+
x
xx 
Điều kiện: 
3
2
≥x Nhân hai vế với biểu thức liên hợp: 
2314 −++ xx , Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
( )
2
)(342
2
0684344
7
26
3
2
3
2
72623142
3
2
52314
3
2
2314
5
3
3
2
=⇔


=
=
⇔




=+−
≤≤
⇔
≥∧−=−+⇔
≥∧=−++⇔
≥∧−++
+
=+
x
Lx
x
xx
x
xxxx
xxx
xxx
x
x
Giải2: 
)2(62)22(3.2 ++=−+ xxx
Điều kiện: 2≥x ; Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 
62623 −=+−− xxx 
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp 623 ++− xx 
Làm t−ơng tự nh− phần 1) ta đ−ợc tập nghiệm: 





 −
=
2
5311
;3T 
Bài 4.2: Giải các bất ph−ơng trình sau 
xxx ≥−−+ 11 (ĐH Ngoại th−ơng HCM-2001). 
Giải1: 
Điều kiện: 11 ≤≤− x 
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp xx −++ 11 thì bất ph−ơng 
trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 14 --  










−++>
≤<



−++<
≤≤−
⇔



≥−−+−
≤≤−
⇔




≥
−++
≤≤−
xx
x
xx
x
xxx
x
x
xx
x
x
112
10
112
01
0)112(
11
11
2
11
10
10
0
01
≤≤⇔










∀
≤<



=
≤≤−
⇔ x
x
x
x
x
Bài làm thêm: (Nhân liên hợp) 
2 2 2 2
1. 1 4 9 0;
3
2. 4 1 3 2 ;
5
3. 3(2 2) 2 6;
4. 3 7 3 2 3 5 1 3 4;
5. 21 21 21;
6. 21 21 ;
2 2
7. 2 2;
2 2 2 2
8. 2 1 2 2
x x x x
x
x x
x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
− + − + + + =
+
+ − − =
+ − = + +
− + − − = − − − − +
+ + − =
+ − − =
+ −
+ =
+ + − +
− − + = −
-------------------------------------------------------------------------- 
5.Ph−ơng pháp Phân chia miền xác định 
Dạng : Giải ph−ơng trình: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxhxfBxgxfA =+ 
Ph−ơng pháp giải : 
Xét ba tr−ờng hợp : 
Tr−ờng hợp 1: ( ) ( )tmxf 0= 
Tr−ờng hợp 2: ( ) 0>xf Khi đó phải có 
( )
( )


≥
≥
0
0
xh
xg
Ph−ơng trình đH cho trở thành ( ) ( ) ( )xfxhBxgA =+ (Ph−ơng trình 
cơ bản) 
Tr−ờng hợp 3: ( ) 0<xf Khi đó phải có 
( )
( )


≤
≤
0
0
xh
xg
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 15 --  
Ph−ơng trình đH cho trở thành ( ) ( ) ( )xfxhBxgA −=−+− 
(Ph−ơng trình cơ bản) 
bài tập áp dụng: 
Bài 5.1: Giải ph−ơng trình sau 
)1(221682.1 22 +=−+++ xxxx 
(ĐH Bách khoa Hà Nội -2001). 
Giải1: 2 21. 2x 8x 6 x 1 2x 2 (1)+ + + − = + 
Điều kiện : 


−=
≥
⇔





≥+
≥−
≥++
1
1
022
01
0682
2
2
x
x
x
x
xx
Nhận thấy x=-1 là một nghiệm của ph−ơng trình đH cho 
Với 1≥x : Ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với: 
1
16422
1
121)3(2
1
)1(2)1)(1()3)(1(2
1
2
=⇔




−=−+
≥
⇔




+=−++
≥
⇔




+=+−+++
≥
⇔
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
x
Vậy ph−ơng trình đH cho có hai nghiệm là x=1 và x=-1 
Bài 5.2: Giải các bất ph−ơng trình sau 
113234.1 22 −≥+−−+− xxxxx (ĐH Kế toán Hà Nội -2001) 
4523423.2 222 +−≥+−++− xxxxxx (ĐH Y HCM -2001) 
Giải1: 113234.1
22 −≥+−−+− xxxxx 
Điều kiện:







≤
≥
=
⇔



≥−−
≥−−
2
1
3
1
0)12)(1(
0)3)(1(
x
x
x
xx
xx
Nhận thấy x=1 là một nghiệm của bất ph−ơng trình 
Với 3≥x Ta tách căn của bất ph−ơng trình đH cho và đ−ợc 



−≥−−−
≥
1123
3
xxx
x
 Hệ này vô nghiệm vì 13 −<− xx 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 16 --  
Với 
2
1
≤x Ta tách căn của bất ph−ơng trình đH cho và đ−ợc 
2
1
3)1)(3(2
2
1
1213
2
1
≤⇔





−≥−−
≤
⇔




−−≥−−−
≤
x
xx
x
xxx
x
Kết luận: Tập nghiệm { } 



 ∞−∪
2
1
;1 
Giải2: 4523423.2
222 +−≥+−++− xxxxxx 
Điều kiện: 


≤
≥
4
1
x
x
Nhận thấy x=1 là một nghiệm của bất ph−ơng trình 
Với 4≥x Ta tách căn của bất ph−ơng trình đH cho và đ−ợc bpt 
4232 −≥−+− xxx 
BPT thoả mHn với 4≥x vì: 432 −>−>− xxx 
Với 1≤x Ta tách căn của bất ph−ơng trình đH cho và đ−ợc bpt 
xxx −≥−+− 4232 
BPT vô nghiệm vì xxx −<−<− 432 
Kết luận: Tập nghiệm { } [ )+∞∪ ;41 
Bài tập làm thêm: 
Bài 3: (PP phân chia MXĐ) 
2
2
2
2 2
1. 1 1 1;
2. ( 3) (2 1);
3. ( 1)(2 7) 3( 1)( 6) ( 1)(7 1);
4. ( 1) ( 2) 2
5. 2 5 2 2) 3 6;
x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
− − + = +
+ − = −
− + + − − = − +
− + + =
+ + − + − = +
2
2 2
2
2 2
6. 1 1;
7. 2 8 6 1 2 2;
8. 4 1 4 1 1
9.( 3) 10 12
x x
x x x x
x x
x x x x
− = +
+ + + − = +
− + − =
+ − = − −
6.Ph−ơng pháp Khai căn 
Dạng : Giải ph−ơng trình: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 17 --  
( )( ) ( )( ) ( )xgBAxfAxf .22 =−++ 
Ph−ơng pháp giải : 
Khai căn và lấy đấu giá trị tuyệt đối ta đ−ợc ph−ơng trình 
( ) ( ) ( )xgBAxgAxf .=−++ 
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phân chia miền xác định ta đ−ợc một tuyển 
hai hệ 
( )
( ) ( )
( )
( )











=
≤




=
≥
xgBA
Axf
xgBxf
Axf
.2
.2
 Giải hai hệ này ta sẽ tìm đ−ợc nghiệm của ph−ơng trình 
đH cho. 
bài tập áp dụng: 
Bài 6.1: Giải ph−ơng trình sau 
294444.1 2 +−=−−+−+ xxxxxx 
2
5
2122122
+
=++−++++
x
xxxx 
Giải 1: 
294444.1 2 +−=−−+−+ xxxxxx 
2492424 2 +−=−−++−⇔ xxxx 
Nếu 8≥x pt trở thành: 
( )( )
( )
42
4
2
54
1
45442
42094224942 22
−
+
−−
=⇔
+−−=−⇔
++−=−⇔+−=−
x
xx
xxx
xxxxxx
Vì 8≥x Nên 
( )
3
42
4
2
54
≥
−
+
−−
x
xx
 vậy ph−ơng trình này vô nghiệm 
Nếu 84 <≤ x pt trở thành: 
542494 2 =∨=⇔+−= xxxx 
Vậy pt đH cho có nghiệm là x=4 và x=5. 
Giải 2: 
2
5
2122122
+
=++−++++
x
xxxx 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 18 --  
2
5
1111
+
=−++++⇔
x
xx 
Giải t−ơng tự ta đ−ợc nghiệm là x=-1 và x=3. 
Bài 6.2: Giải ph−ơng trình sau 
21212 =−−−−+ xxxx 
Giải: 
Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 
21111 =−−−+−⇔ xx
( )
2
2
1111
21
21111
2
≥⇔







=



−−+−
<≤



=−−−+−
≥
⇔ x
xx
x
xx
x
Tập nghiệm: [ )+∞;2 
7.Ph−ơng pháp Đạo hàm 
Dạng : Bài toán tìm m để ph−ơng trình f(x)=m có nghiệm, 
 Bài toán chứng minh ph−ơng trình f(x)=A có nghiệm duy nhất, 
 Bài toán biện luận số nghiệm của ph−ơng trình f(x)=m theo tham số m. 
Ph−ơng pháp giải : 
 * Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x) 
 * Tính đạo hàm f’(x) ,lập bảng biến thiên . 
 * Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của ph−ơng trình . 
bài tập áp dụng: 
Bài 7.1:Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm 
)45(12 xxmxxx −+−=++ 
Giải: 
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp: xx −−− 45 ta đ−ợc: 
mxxxxx =−−−++ )45)(12( 
Xét )(xfVT = TXĐ [ ]4;0=D 
12)( ++= xxxxg ; 0
122
1
2
3
)( >
+
+=′
x
x
xg 
 )(xg⇒ đồng biến và luôn d−ơng trên D. 
xxxh −−−= 45)( ; 0
452
45
)( >
−−
−−−
=′
xx
xx
xh 
( )xh⇒ đồng biến và luôn d−ơng trên D. 
Suy ra hàm số )()()( xhxgxf = cũng sẽ là hàm số đồng biến trên D. 
Từ đó ( ) 44512)4()0( ≤≤−⇔≤≤ VTfVTf 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 19 --  
Vậy để ph−ơng trình đH cho có nghiệm thì: 
( ) 44512 ≤≤− m 
8.Ph−ơng pháp đánh giá hai vế 
Ph−ơng pháp: 
Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh VPVTVPVT ≤∨≥ và tìm điều kiện để dấu 
bằng xảy ra 
bài tập áp dụng: 
Bài 8.1: Giải các ph−ơng trình sau: 
2152.1 2 =−++− xxx 
11414.2 2 =−+− xx (ĐHQG Hà Nội-2001) 
Giải1: )1(2152.1
2 =−++− xxx 
Điều kiện: 101
0522
≥⇔



≥−
≥+−
x
x
xx
Ta có: ( ) xxxx ∀≥+−=+− 44152 22 
VPxxxVT =≥−++−=⇒ 21522 
Dấu bằng xảy ra khi x=1. 
Vậy pt đH cho có nghiệm duy nhất x=1 
Giải 2: 11414.2
2 =−+− xx 
Điều kiện: 
2
1
2
1
4
1
≥⇔






≥
≥
x
x
x
Vậy VPxxVT =≥−+−= 11414
2
Dấu bằng xảy ra khi 2
1
014
114
2
=⇔



=−
=−
x
x
x
Vậy pt đH cho có nghiệm: 2
1=x 
Bài 8.2: Giải các ph−ơng trình sau: 
xxxxxxx 32 +++=++ 
Giải: 
Điều kiện: 0≥x 
Nhận thấy x=0 là một nghiệm của ph−ơng trình 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 20 --  
Với x>0 
xxxxxxx
xxxx
xxx
32
32
+++<++⇒




+<+
+<
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>0 
Kết luận:nghiệm x=0 
Bài 8.3: Giải các ph−ơng trình sau: 
0321 333 =+++++ xxx 
Giải: 
Nhận thấy x=-2 là một nghiệm 
Với x>-2 thì x+1>-1 
0
13
02
11
3
3
3
>⇒






>+
>+
−>+
⇒ VT
x
x
x
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>-2 
T−ơng tự với x<-2 
0
13
02
11
3
3
3
<⇒






<+
<+
−<+
⇒ VT
x
x
x
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x<-2 
Kết luận : nghiệm x=0 
Bài tập làm thêm : Căn bậc ba. 
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3
3 3
1. 1 2 2 3;
2. 5 6 2 11;
3. 1 3 1 1;
4. 1 1 2
5. 2 1 2 1 2;
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
− + − = −
+ + + = +
+ + + = −
+ + − =
+ − + − − =
Bài tập. Giải các PT sau: 
2
3 2 2
2
2
1. 2 5 1 2;
2. 2 7 11 25 12 6 1;
1 1
3. 2 2 4 ;
4. 2 1 3 4 1 1;
x x x
x x x x x
x x
x x
x x x x
− + + − =
− + − = + −
 − + − = − + 
 
− − + + − − =
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 21 --  
( )
2 2
3 2 2
5. 1 1 2;
6. 1 2 2 1 2 2 1;
7. 2 2 1 2 1 3;
8. 2 5 3 3 2 6 1;
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
− − + + − =
− + − − − − − =
+ − − − − = +
+ + − = + −
2
6
9. 2 1 19 2
10 24
x x
x x
− + − =
− + −
2 2 3 3 4 43 3 4 410. 1 1 1 1 1 1 6;x x x x x x+ + − + + + − + + + − = 
4 4 411. 1 1 2 8;x x x x+ − + + − = + 
4 24
2 4 4 34
2 44 4
12. 2 3 4;
13. 2 1;
14. 2 2 4;
5
15. 2 2 1 2 2 1 ;
2
x x x
x x x x
x x x x
x
x x x x
− = − +
− = − +
+ + − + − =
+
+ + + + + − + =
16. 3 4 1 15 8 1 6;
17. 6 9 6 9 6;
18. 5 4 1 2 2 1 1;
19. 2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4;
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + − + + − − =
+ − + − − =
+ − + + + − + =
− − − + − − + + − − =
9.Ph−ơng pháp Tam thức bậc hai 
Dạng : Bài toán biện luận số nghiệm của ph−ơng trình f(x)=m theo tham số m. 
Trong đó ta đặt đ−ợc: ( ) ( )0≥= ttxu ; 
Bài toán khi đó trở thành :Biện luận theo m số nghiệm của ph−ơng trình bậc 
hai 
02 =++ cbtat 
Bảy bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số, hai số: 
21
21
21
,3
,2
,1
xx
xx
xx
<<
<<
<<
α
α
α
βα
βα
βα
βα
βα
<<<



<<<
<<<
<<<
<<<
21
21
21
21
21
,7
,6
,5
,4
xx
xx
xx
xx
xx
Ba bài toán cơ bản của tam thức bậc hai: 
1, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc R 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 22 --  
2, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (α;+∞); 
3, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (α;β); 
bài tập áp dụng: 
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 9.1:Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm 
( )( ) 01562 =−−++− xxmxx (CĐ SP HCM-2001). 
-------------------------------------------------------------------------- 
Giải: Điều kiện: 51 ≤≤ x 
Đặt ( )( ) ( ) 2043415 22 ≤≤⇒≤−−=⇒=−− txttxx 
Bài toán đH cho trở thành: 
 Tìm m để ph−ơng trình t2-t+5-m=0 
 có nghiệm [ ]2;0∈t ,nghĩa là





<≤<
≤≤≤
≤≤≤
20
20
20
21
21
21
tt
tt
tt
Hệ điều kiện trên t−ơng đ−ơng với: 
( ) ( )
( )
( )

















<<
>
>
≥∆
≤
2
2
0
02
00
0
02.0
s
f
f
ff
( )( )
7
4
19
2
2
1
0
7
5
4
19
075
≤≤⇔




















<<
<
<
≥
≤−−
⇔ m
m
m
m
mm
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 9.2:Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm 
mxxxx ++−=−+ 99 2 (CĐ Y HCM-1997). 
-------------------------------------------------------------------------- 
Giải: Điều kiện: 90 ≤≤ x 
 Đặt : ( ) ( )
4
81
2
9
4
1
09
2
2 ≤




 −−=⇒≥=− xtttxx 
2
9
0 ≤≤⇒ t 
Bài toán đH cho trở thành: 
 Tìm m để ph−ơng trình t2-2t+m-9=0 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 23 --  
 có nghiệm 


∈
2
9
;0t ,nghĩa là









<≤<
≤≤≤
≤≤≤
2
9
0
2
9
0
2
9
0
21
21