Luyện thi đại học môn Toán - Mở đầu về số phức – Phần 1

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 
Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = –1. 
Trong đó: 
i là đơn vị ảo. 
a được gọi là phần thực của số phức 
b được gọi là phần ảo của số phức 
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C. 

 Chú ý: 
♦ Số phức z là số thực nếu b = 0, khi đó z = a. 
♦ Số phức z là số ảo (hay số thuần ảo) nếu a = 0, khi đó z = bi. 
♦ Hai số phức z = a + bi và ' ' 'z a b i= + nếu 
'
'
a a
b b
=

=
♦ Với i là đơn vị ảo ta có: ( )22 3 2 4 2 5 41; . ; 1; . ...i i i i i i i i i i i= − = = − = = = = 
Từ đó suy ra 4 4 1 4 2 4 3 0+ + ++ + + =n n n ni i i i 
Ví dụ: Tính tổng 2 3 20121 ... .= + + + + +S i i i i 
Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau 
a) z = 2 + 3i b) z = 4i c) z = –1 
d) z 2 2i= − e) z = (1 + i)2 – (1 – i)2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 
Hướng dẫn giải: 
Theo định nghĩa số phức ta có 
a) z = 2 + 3i ⇒ a = 2; b = 3 
b) z = 4i ⇒ a = 0; b = 4 
c) z = –1 ⇒ a = –1; b = 0 
d) 2 2 2; 2z i a b= − ⇒ = = − 
e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức đã cho về dạng rút gọn. 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 1 2 2 2 4 0; 4i i i i i i i i i a b+ − − = + + − − + = − − = ⇒ = = , (do i2 = –1 ) 
f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = 9 – 2i ⇒ a = 9; b = –2. 
Ví dụ 2. Tìm các số thực x và y, biết: 
a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i 
b) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 2 1x y i x y x i− + + = + − + 
Hướng dẫn giải: 
Ta biết rằng hai số phức z = a + bi và ' ' 'z a b i= + nếu 
'
'
a a
b b
=

=
a) Ta có 2 1 2 1
3 2 4 2
x x x
y y y
+ = + = 
⇒ 
− = + = 
b) Ta có ( )
31 3 4 1
21 2 1 2 2 5
x x y x y x
y x x y y

− = + + = = 
⇔ ⇒  
+ = − + + = −   = −
Ví dụ 3. Cho ( ) ( )= + + −3 2 4z a b i . Tìm các số a, b để: 
a) z là số thực 
b) z là số thuần ảo 
Hướng dẫn giải: 
a) z là số thực khi b – 4 = 0, hay b = 4. 
b) z là số thuẩn ảo khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3 
Tài liệu bài giảng: 
01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức: 
1. z 3 5i= − + 2. z 2i= − 
3. z = 12 4. z = 0 
5. z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i). 6. z = (1 + i)2 – (1 – i)2 
7. z = (2 + i)3 – (3 – i)3. 8. z = (3 – 5i) + (2 + 4i) 
9. z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10. z = (2 + i) – (1 + 4i) 
Bài 2. Cho ( ) ( )z 2a 1 3b 5 i= − + + với a,b R∈ . Tìm các số a, b để: 
1. z là số thực 2. z là số thuần ảo 
Bài 3. Tìm các số thực x và y, biết: 
1. ( ) ( )2x 1 5i 4 3y 2 i+ + = − + − 
2. ( ) ( )x 2 4i 3 y 1 i− − = − + 
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 
Cho số phức z = a + bi ( ), ∈a b R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) (hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (hay còn 
gọi là mặt phẳng phức) 
Trong đó: 
- Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a. 
- Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b. 
Ví dụ. Cho các số phức 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C, D 
a) Chứng minh rằng ABCD là một hình bình hành 
b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào? 
3. MODULE CỦA SỐ PHỨC 
Khái niệm: 
Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu là |z| và được tính theo biểu thức: 2 2= +z a b 
Ví dụ: Tính module của các số phức sau 
1. z = 1 + 3i 
2. z = 2i 
3. z 3 i= − 
4. ( ) ( )2 2z 2 i 1 2i= + + + 
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng công thức 2 2z a b= + ta có 
1. z 1 3i z 1 9 10= + ⇒ = + = 
2. z 2i z 4 2= ⇒ = = 
3. z 3 i z 3 1 2= − ⇒ = + = 
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2z 2 i 1 2i 4 2i i 1 4i 4i 3 2i 4i 3 6i z 6= + + + = + + + + + = + + − = ⇒ = 
4. SỐ PHỨC LIÊN HỢP 
Khái niệm: 
Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của số phức z kí hiệu là z và được tính theo biểu thức: = −z a bi 

Chú ý: 
+ Các điểm M(a ; b) và M’(a ; –b) biểu diễn các số phức z và z đối xứng nhau qua trục Ox. 
+ Các số phức z và z có module bằng nhau: 2 2= = +z z a b 
Ví dụ: Viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau và tính module của chúng 
1. z = 2 – 5i 
2. z = 7i 
3. z = 6 + i 
4. z 3 2i= − 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng z a bi= − , ta được : 
1. z 2 5i z 2 5i z 4 25 29= − ⇒ = + ⇒ = + = 
2. z 7i z 7i z 49 7= ⇒ = − ⇒ = = 
3. z 6 i z 6 i z 36 1 37= + ⇒ = − ⇒ = + = 
4. z 3 2i z 3 2i z 3 4 7= − ⇒ = + ⇒ = + = 
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 
Bài 1. Tính z z ', z z ', z.z '+ − với 
1) z 5 2i , z ' 4 3i= + = + 2) z 2 3i , z ' 6 4i= − = + 
3) z 4 7i , z ' 2 5i= − − = − 4) z 1 i 3 , z ' 3 2i= + = − + 
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau : 
1) ( )21 i− 2) ( )22 3i+ 
3) ( )31 i 3i+ + 4) ( )20101 i+ 
Bài 3. Viết các số phức sau dạng đại số: 
1) ( )( )
1
z
1 i 4 3i
=
+ −
 2) 5 6iz
4 3i
− +
=
+
3) 7 2iz
8 6i
 
−
=  
− 
 4) 3 4iz
4 i
−
=
−
5) 1z
2 3i
=
−
 6) 1z
1 3 i
2 2
=
−
7) 3 2iz
i
−
= 8) 2 iz
5i
+
= 
9) 4iz
1 i
=
−
 10) 1 2i 12iz
12i 1 2i
+
= +
+
11) (2 i)(12i) (2i)(1 2i)z
2i 2 i
+ +
= +
+
Bài 4. Cho 1 3z i
2 2
= − + . Hãy tính: ( )32 21 , z , z , z , 1 z z
z
+ + . 
Bài 5. Tính modun, tìm số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 
1) 1z
2 3i
=
+
 2) 4 5iz
i
+
= 
3) 4 3iz
2 i
−
=
−
 4) 1 2iz
2 i
−
=
+
5) z (2 i)( 3 2i)(5 4i)= − − + − 6) ( )( )
1
z
1 2i 3 i
=
+ −
7) ( )( )
2 3i
z
4 i 2 2i
+
=
+ −
 8) 5 5i 20z
3 4i 4 3i
+
= +
− +
9) 3 7i 5 8iz
2 3i 2 3i
+ −
= +
+ −
 10) 3 2i (2 i)(4 3i)z
2 i
+ + − −
=
+
11) (3 2i)(4 3i)z 5 4i
1 2i
− +
= + −
−
 12) ( ) ( )
23 2i 1 i
z
1 i
− −
=
+
13) ( )( ) ( )3 2i 1 3iz 2 i
1 3i
+ −
= + −
+
 14) ( ) ( )( ) ( )
2 3
3 2
1 2i 1 i
z
3 2i 2 i
+ − −
=
+ − +
15) 7 7
1 1
z i
2i i
 
= − 
 
 16) ( ) ( )( )
33
101 i 1
z 1 i 2 3i 2 3i
1 i i
+ 
= + − + + − + 
− 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 
17) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 20z 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i= + + + + + + + + + 18) 
8 81 i 1 i
z
1 i 1 i
+ −   
= +   
− +   
Bài 6. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức 
đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 
1) 1 2 3z z z z= + + 2) 1 2 2 3 3 1z z z z z z z= + + 
3) 1 2 3z z z z= 4) 2 2 21 2 3z z z z= + + 
5) 31 2
2 3 1
zz z
z
z z z
= + + 6) 
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z
z z
+
=
+
Bài 7. Tính 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z , z z , z .z , z 2z , 2z z+ − − + , biết: 
1) 1 2z 5 6i, z 1 2i= − + = − 
2) 1 2z 3 2i, z 4 3i= + = − 
3) 1 2
1 1 1
z i, z i
2 3 2
= − + = − +