Ðề thi tuyển sinh Đại học môn Toán năm 2005

Nguyễn Quỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 
 1 
ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
MƠN TỐN NĂM 2005 
DỰ BỊ 1 KHỐI A 
Câu I: (2 đ) 
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : y = 
2 22 1 3x mx m
x m
+ + −
−
 (*) (m là tham số) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1. 
2. Tìm m để hàm số (*) cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. 
Câu II: ( 2 điểm) 
1. Giải hệ phương trình : 
2 2 4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
 + + + =

+ + + + =
2. Tìm nghiệm trên khoảng (0; pi ) của phương trình : 
2 2 34sin 3 cos 2 1 2cos ( )
2 4
x
x x
pi
− = + − . 
Câu III: (3 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A cĩ trọng tâm 
G 4 1( ; )
3 3
, phương trình đường thẳng BC là 2 4 0x y− − = và phương trình đường thẳng BG 
là 7 4 8 0x y− − = . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 
2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0), B(0; 2; 0), PC(0; 0; 2) . 
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuơng gĩc với BC.Tìm tọa độ 
giao điểm của AC với mặt phẳng (P). 
b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuơng. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ 
diện OABC. 
Câu IV: ( 2 điểm) 
1. Tính tích phân: I 
3
2
0
sin .tan dx x x
pi
= ∫ . 
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 
chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. 
Câu V: (1 điểm) 
Cho x, y, z là ba số thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 
3 4 3 4 3 4 6x y z+ + + + + ≥ . 
Nguyễn Quỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 
 2 
ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
MƠN TỐN NĂM 2005 
DỰ BỊ 2 KHỐI A 
Câu I: (2 điểm) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 
2 1
1
x xy
x
+ +
=
+
 . 
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị ( C ) . 
Câu II:( 2 điểm) 
1. Giải hệ phương trình : 2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
 + + − + =

+ =
2. Giải phương trình : 32 2 cos ( ) 3cos sin 0
4
x x x
pi
− − − = . 
Câu III: (3 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trịn 
 (C): x2 + y2 12 4 36 0x y− − + = . Viết phương trình đường trịn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa 
độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngồi với đường trịn (C). 
2. Trong khơng gian với hệ tọa độ ðêcac vuơng gĩc Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), 
S(0; 0; 4) 
a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết 
phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S. 
b) Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC. 
Câu IV: ( 2 điểm) 
1. Tính tích phân: I 
7
3
0
2 d
1
x
x
x
+
=
+∫
. 
2. Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức 2(2 3 ) nx− , trong đĩ n là số nguyên dương thỏa 
mãn: 1 3 5 2 12 1 2 1 2 1 2 1...
n
n n n n
C C C C ++ + + ++ + + + = 1024. ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử) 
Câu V: (1 điểm) 
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta cĩ : 
29(1 )(1 )(1 ) 256yx
x y
+ + + ≥ . 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
Nguyễn Quỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 
 3 
ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
MƠN TỐN NĂM 2005 
DỰ BỊ 1 KHỐI B 
Câu I: (2 điểm) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 4 26 5y x x= − + . 
2. Tìm m để phương trình sau cĩ 4 nghiệm phân biệt : 4 2 26 log 0x x m− − = . 
Câu II: (2 điểm) 
1. Giải hệ phương trình : 2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
 + + − + =

+ =
2. Giải phương trình : 32 2 cos ( ) 3cos sin 0
4
x x x
pi
− − − = . 
Câu III: (3 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : 
2 2
64 9
x y
+ = 1. Viết phương trình tiếp 
tuyến d của (E) biết d cắt hai hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AO = 2BO. 
2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1
x y z
: 
1 1 2
d = = và 
2
1 2
: 
1
x t
d y t
z t
= − −

=

= +
 ( t là tham số ). 
a) Xét vị trí tương đối của d1 và d2 . 
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với 
mặt phẳng (P) : 0x y z− + = và độ dài đọan MN bằng 2 . 
Câu IV: ( 2 điểm) 
1. Tính tích phân: I = 2
0
ln d
e
x x x∫ . 
2. Một độ văn nghệ cĩ 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một nhĩm 
đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhĩm đĩ phải cĩ ít nhất 3 nữ. 
Câu V: (1 điểm) 
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = 3
4
. Chứng minh rằng : 
3 3 33 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ . 
Khi nào đẳng thức xảy ra ? 
Nguyễn Quỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 
 4 
ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
MƠN TỐN NĂM 2005 
DỰ BỊ 2 KHỐI B 
Câu I: (2 điểm) 
Cho hàm số : y = 
2 2 2
1
x x
x
+ +
+
 (*) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (*) . 
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng khơng cĩ tiếp tuyến nào 
của (C ) đi qua điểm I . 
Câu II:( 2 điểm) 
1. Giải bất phương trình : 28 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤ . 
2. Giải phương trình : 2 2
cos 2 1
tan( ) 3 tan
2 cos
x
x x
x
pi −
+ − = . 
Câu III: (3 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường trịn : 
 (C1 ): x2 + y2 9= và (C2 ): x2 + y2 2 2 23 0x y− − − = . Viết phương trình trục đẳng phương d 
của hai đường trịn (C1) và (C2). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến 
tâm của (C1) nhỏ hơn khỏang cách từ K đến tâm của ( C2 ). 
2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P) cĩ phương 
trình 2 2 1 0x y z+ − + = . 
a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài 
đọan MM1. 
b) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng x-1 y-1 z-5: 
2 1 -6
= = 
Câu IV: ( 2 điểm) 
1. Tính tích phân: I = 
4
sin
0
(tan cos )dxx e x x
pi
+∫ . 
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ 
số khác nhau và nhất thiết phải cĩ 2 chữ 1, 5 ? 
Câu V: (1 điểm) 
Chứng minh rằng nếu 0 1y x≤ ≤ ≤ thì: 
1
4
x y y x− ≤ . 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
Nguyễn Quỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 
 5 
ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
MƠN TỐN NĂM 2005 
DỰ BỊ 1 KHỐI D 
Câu I: (2 điểm) 
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y= – x3+ ( 2m + 1) x2 – m – 1 (1) (m là tham số). 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
2) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx – m – 1. 
Câu II:( 2 điểm) 
1. Giải bất phương trình : 2 7 5 3 2x x x+ − − ≥ − 
2. Giải phương trình : 3 sintan( ) 2
2 1 cos
x
x
x
pi
− + =
+
Câu III: (3 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trịn (C): x2 + y2 4 6 12 0x y− − − = . Tìm 
tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2 3 0x y− + = sao cho MI = 2R , trong đĩ I là tâm và R 
là bán kính của đường trịn (C). 
2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0), 
B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) 
a) Tìm tọa độ các điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O1. 
b) Gọi M là trung điểm của AB.Mặt phẳng ( P ) qua M vuơng gĩc với O1A và cắt OA, OA1 
lần lượt tại N, K . Tính độ dài đoạn KN. 
Câu IV: ( 2 điểm) 
1.Tính tích phân I 
3 2
1
ln d
ln 1
e
x
x
x x
=
+∫
. 
2. Tìm k { }0;1;2;.....;2005∈ sao cho 2005kC đạt giá trị lớn nhất. ( knC là số tổ hợp chập k của 
n phần tử) 
Câu V: (1 điểm) 
Tìm m để hệ phương trình sau cĩ nghiệm: 
2 1 2 1
2
7 7 2005 2005
( 2) 2 3 0
x x x x
x m x m
+ + + +
− + ≤

− + + + ≥
. 
Nguyễn Quỳnh GV Tốn THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 
 6 
ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
MƠN TỐN NĂM 2005 
DỰ BỊ 2 KHỐI D 
Câu I: (2 điểm) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2 3 3
1
x xy
x
+ +
=
+
 . 
2. Tìm m để phương trình 
2 3 3
1
x x
m
x
+ +
=
+
 cĩ 4 nghiệm phân biệt . 
Câu II:( 2 điểm) 
1. Giải bất phương trình : 
2
2
2
2 19 2 3
3
x x
x x
−
−
 
− ≤ 
 
. 
2. Giải phương trình : sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x+ + − − = . 
Câu III: (3 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương trình 
đường trịn đi qua hai điểm A, B và cĩ bán kính R = 10 . 
 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với 
A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) 
a) Xác định tọa độ các điểm cịn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung 
điểm của BC . Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) vuơng gĩc với nhau. 
 b) Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới 2 
mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm N. 
Câu IV: ( 2 điểm) 
1. Tính tích phân: I 
2
2
0
( 2 1) cos dx x x
pi
= −∫ . 
2. Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức : 2 22 6 12
n n n n
P A P A+ − = . 
 ( Pn là số hốn vị của n phần tử và knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử) 
Câu V: (1 điểm) 
Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng: 
2 2 2 3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
.