Đề thi tuyển sinh sau đại học Đại học Vinh năm 2006 Môn: Giải tích

Đề thi tuyển sinh sau đại học Đại học Vinh năm 2006
Môn: Giải tích
Thời gian: 180 phút
Câu 1. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm
∞∑
n=1
(−1)nn
(
x− 1
x+ 1
)n
Câu 2. Xét tính liên tục và khả vi của hàm
f(x, y) =
(x2 + y2) sin
1
y
nếu y 6= 0
0 nếu y = 0
Câu 3. Giả sử f : R→ R là hàm đo được và tồn tại tích phân Lơbe If .
Với mỗi n = 1, 2, . . . cho hàm
fn(x) =
{
f(x) nếu |f(x)| < n
n+ 1 nếu |f(x)| ≥ n
1) Chứng minh rằng lim
n→∞
fn(x) = f(x), với mọi x ∈ R.
2) Có kết luận được lim
n→∞
Ifn = If hay không?
Câu 4. Giả sử C[−1,1] là không gian các hàm số liên tục trên [−1, 1] với
chuẩn
‖f‖ = sup
x∈[−1,1]
|f(x)|, với mọi f ∈ C[−1,1].
và X = {f ∈ C[−1,1] : f(1) = 0}, còn Y là không gian các dãy số hội tụ với
chuẩn
‖x‖ = sup
n∈N
|xn|, với mọi x = {xn} ∈ Y.
Cho ánh xạ T : X → Y được xác định bởi công thức
T (f) =
{
f
(
n
n+ 1
)}
, với mọi f ∈ X.
1) Chứng minh rằng Y là không gian Banach
2) Xét tính compact của tập K = {f ∈ X : ‖f‖ ≤ 1} trong X
3) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của
T .
4) Xét tính trù mật của Y \ T (X) trong Y .
1Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh.
1
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006
Môn: Đại số
Thời gian: 180 phút
Câu 1. Cho V là không gian vectơ tất cả các ma trận vuông cấp 2 phần
tử thực. Xét ánh xạ
f : V → V(
a b
c d
)
7→
( −a −b
−c −d
)
1) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính của V .
2) Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của V .
3) Tìm Kerf , Imf .
Câu 2. Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính và có ma trận đối với cơ sở
đã cho là
A =
 1 1 00 1 0
5 3 −2

1) Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f .
2) Vectơ riêng của f tìm được ở câu 1) có tọa độ đối với cơ sở nào?
3) f có phải đẳng cấu không? Tại sao?
Câu 3. 1) Cho G là tập tất cả các giá trị căn phức bậc n của 1, với n
là số nguyên dương. Chứng minh rằng đối với phép nhân các số phức thông
thường, G là nhóm Cyclic.
2) Cho A là một vành và I là một tập con của A. Chứng minh rằng I là
Ideal của A khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu nào đó từ A.
Câu 4. Cho A[x] là vành đa thức một ẩn trên vành A giao hoán có đơn
vị.
1) Chứng minh rằng nếu A là trường thì A[x] là vành chính.
2) Gọi R là trường các số thực và I là Ideal của vành R[x] sinh bởi x2+1.
Chứng minh vành thương R[x]/I là một trường.
3) Nếu A là một trường thì A[x] có phải là một trường không? Tại sao?
Câu 5. Cho A là một ma trận vuông cấp 2 phần tử thực và n ∈ N, n ≥ 2.
Chứng minh rằng An = 0 khi và chỉ khi A2 = 0.
1Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh.
2