Đề thi tuyển sinh đại học năm 2013 môn Toán - Khối B (đề chính thức)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x3 − 3(m+ 1)x2 + 6mx (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với
đường thẳng y = x+ 2.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 5x + 2cos2 x = 1.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
{
2x2 + y2 − 3xy + 3x− 2y + 1 = 0
4x2 − y2 + x+ 4 = √2x+ y +√x+ 4y
(x, y ∈ R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1∫
0
x
√
2− x2 dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
4√
a2 + b2 + c2 + 4
− 9
(a + b)
√
(a + 2c)(b+ 2c)
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường
chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình x+ 2y − 6 = 0 và tam
giác ABD có trực tâm là H(−3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) và mặt phẳng
(P ) : 2x + 3y − z − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P ). Tìm tọa
độ điểm đối xứng của A qua (P ).
Câu 9.a (1,0 điểm). Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng,
hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác
suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ
từ đỉnh A là H
(17
5
;−1
5
)
, chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh
AB là M(0; 1). Tìm tọa độ đỉnh C .
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;−1; 1), B(−1; 2; 3) và
đường thẳng ∆ :
x+ 1
−2 =
y − 2
1
=
z − 3
3
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với
hai đường thẳng AB và ∆.
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
{
x2 + 2y = 4x− 1
2 log
3
(x− 1) − log√
3
(y + 1) = 0.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 
Mơn: TỐN; Khối B 
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) 
Câu Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm) 
Khi m = −1 ta cĩ 32 6y x x= − .
• Tập xác định: .D = \
• Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: 2' 6 6; ' 0 1.y x y x= − = ⇔ = ±
0,25 
 Các khoảng đồng biến: và ( ; 1)−∞ − (1; );+ ∞ khoảng nghịch biến: (−1; 1). 
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = −4; đạt cực đại tại x = −1, yCĐ = 4. 
- Giới hạn: lim ; lim .
x x
y y→−∞ →+∞= −∞ = +∞
0,25 
- Bảng biến thiên: 
Trang 1/4 
0,25 
• Đồ thị: 
0,25 
b. (1,0 điểm) 
Ta cĩ hoặc 2' 6 6( 1) 6 ; ' 0 1y x m x m y x= − + + = ⇔ = .x m= 0,25 
Điều kiện để đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị là 1.m≠ 0,25 
Ta cĩ 3 2(1;3 1), ( ; 3 ).A m B m m m− − + Hệ số gĩc của đường thẳng AB là 2( 1)k m=− − .
Đường thẳng AB vuơng gĩc với đường thẳng 2y x= + khi và chỉ khi 1k =− 0,25 
1 
(2,0 điểm) 
0m⇔ = hoặc 2.m = 
Vậy giá trị m cần tìm là hoặc 0m = 2.m = 0,25 
x 
'y 
y 
− ∞ + ∞ −1 1 
0 0 + + − 
+ ∞ 
− ∞ − 4 
4 
1 
O
y 
x 
4 
−1
−4
Trang 2/4 
Câu Đáp án Điểm
Phương trình đã cho tương đương với sin 5 cos 2 0x x+ = 0,25 
πcos 5 cos2
2
x x⎛ ⎞⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
π5 2 2π ( )
2
x x k k⇔ + = ± + ∈] 0,25 
2 
(1,0 điểm) 
π 2π
6 3 ( )
π 2π
14 7
x k
k
x k
⎡ = − +⎢⇔ ∈⎢⎢ = − +⎢⎣
] . 0,25 
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y
⎧ + − + − + =⎪⎨ − + + = + + +⎪⎩
(1)
(2)
0x y x y+ ≥ + ≥
Điều kiện: . Từ (1) ta được 2 0, 4 1y x= + hoặc 2 1y x
0,25 
.= + 
• Với thay vào (2) ta được 1,y x= + 23 3 3 1 5x x x x 4− + = + + + 
23( ) ( 1 3 1) ( 2 5 4) 0x x x x x x⇔ − + + − + + + − + =
2 1 1( ) 3
1 3 1 2 5 4
x x
x x x x
⎛ ⎞⇔ − + + =⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠
0,25 
0 
2 0 0x x x⇔ − = ⇔ = hoặc Khi đĩ ta được nghiệm ( ;1.x = )x y là và (0;1) (1;2). 0,25 
3 
(1,0 điểm) 
• Với thay vào (2) ta được 2 1y x= + , 3 3 4 1 9 4x x x− = + + + 
3 ( 4 1 1) ( 9 4 2) 0x x x⇔ + + − + + − = 
4 93
4 1 1 9 4 2
x
x x
⎛⇔ + + = ⇔ =⎜ + + + +⎝ ⎠ 0 0.x
⎞⎟ Khi đĩ ta được nghiệm ( ; )x y là (0 ; 1).
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là và (0;1) (1;2).
0,25 
Đặt 22 d d .t t x x= − ⇒ = −t x Khi 0x = thì 2,t khi = 1x = thì 1.t = 0,25 
Suy ra 
2
2
1
dI t= ∫
4 
t 0,25 
23
13
t= 0,25 
(1,0 điểm) 
 2 2 1.
3
−= 0,25 
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ AB và 3 .
2
aSH = 
Mà (SAB) vuơng gĩc với (ABCD) theo giao tuyến AB, nên 
SH ⊥ (ABCD). 
0,25 
Do đĩ 
3
.
1 3. .
3 6S ABCD ABCD
aV S H S= = 0,25 
Do AB || CD và H∈AB nên ( , ( )) ( , ( )).d A SCD d H SCD=
Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vuơng gĩc 
của H trên SK. Ta cĩ HK⊥CD. Mà SH⊥CD ⇒ CD⊥(SHK) 
⇒ CD ⊥ HI. Do đĩ HI ⊥(SCD). 
0,25 
5 
(1,0 điểm) 
Suy ra 
2 2
. 2( ,( )) .
7
SH HK ad A SCD HI
SH HK
= = =
+
S 
I 
A 
1 0,25 
B C 
H 
D 
K 
Trang 3/4 
Câu Đáp án Điểm
Ta cĩ: 
2 2 2 2 24 2 4 4( ) ( 2 )( 2 ) ( ) 2(2 2
a b c a b ab ac bca b a c b c a b a b c+ + + + + ++ + + ≤ + = ≤ + + ). 0,25 
Đặt 2 2 2 4,t a b c= + + + suy ra và 2t > 24 9 .2( 4)P t t≤ − − 
Xét 2
4 9( ) ,
2( 4)
f t
t t
= − − với Ta cĩ 2.t >
3 2
2 2 2 2 2 2
4 9 ( 4)(4 7 4 16'( ) .
( 4) ( 4)
t t t t tf t
t t t t
− − + − −= − + =− −
)
.Với t > 2 ta cĩ 3 2 34 7 4 16 4( 4) (7 4) 0t t t t t t+ − − = − + − > Do đĩ '( ) 0 4.f t t= ⇔ = 
0,25 
Bảng biến thiên: 
Từ bảng biến thiên ta được 5 .
8
P≤ 
0,25 
6 
(1,0 điểm) 
Khi ta cĩ 2a b c= = = 5 .
8
P = Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 .
8
 0,25 
Gọi I là giao điểm của AC và BD⇒ = .IB IC
Mà IB IC⊥ nên ΔIBC vuơng cân tại I n o45 .ICB⇒ = 
BH ⊥ AD ⇒ BH ⊥ BC⇒ ΔHBC vuơng cân tại B 
⇒ I là trung điểm của đoạn thẳng HC. 
0,25 
Do CH ⊥ BD và trung điểm I của CH thuộc BD nên tọa 
độ điểm C thỏa mãn hệ 
2( 3) ( 2) 0
3 22 6
2 2
x y
x y
+ − − =⎧⎪ − +⎨ ⎛ ⎞ 0.+ − =⎜ ⎟⎪⎩ ⎝ ⎠
Do đĩ ( 1;6).C − 
0,25 
Ta cĩ 1 3
3
IC IB BC ID IC
ID ID AD
= = = ⇒ = 2 2 1010 5 2.
2
CHCD IC ID IC⇒ = + = = = 0,25 
7.a 
(1,0 điểm) 
Ta cĩ (6 2 ; )D t t− và 5 2CD suy ra = 2 2 1(7 2 ) ( 6) 50
7.
t
t t
t
=⎡− + − = ⇔ ⎢ =⎣ 
Do đĩ hoặc (4;1)D ( 8;7).D −
0,25 
(P) cĩ véctơ pháp tuyến (2;3; 1).n = −JG 0,25 
Đường thẳng Δ qua A và vuơng gĩc với (P) nhận nJG làm véctơ chỉ phương, nên cĩ phương trình 
3 5 .
2 3 1
x y z− −= = − 
0,25 
Gọi B là điểm đối xứng của A qua (P), suy ra B thuộc Δ. Do đĩ (3 2 ;5 3 ; ).B t t t+ + − 0,25 
8.a 
(1,0 điểm) 
Trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc (P) nên 10 32(3 ) 3 7 0 2.
2 2
t tt t+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =− 
Do đĩ ( 1; 1; 2).B − −
0,25 
Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là: 7.6 42.= 0,25 
Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là: 4.2 8.= 0,25 
Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là: 3.4 12.= 0,25 
9.a 
(1,0 điểm) 
Xác suất để 2 viên bi được lấy ra cĩ cùng màu là: 8 12 10 .
42 21
p += = 0,25 
A D 
B C 
H 
I 
t 
( )
2 + ∞ 4 
0 + − 
f t
−∞ 
5
8
0 
f '( )t
Trang 4/4 
Câu Đáp án Điểm
Ta cĩ H AH∈ và AH HD⊥ nên AH cĩ phương trình: 
2 3 0x y .+ − = Do đĩ (3 2 ; ).A a a− 0,25 
Do M là trung điểm của AB nên MA = MH. 
Suy ra 2 2(3 2 ) ( 1) 13 3a a a− + − = ⇔ = hoặc 1 .
5
a =− 
Do A khác H nên ( 3;3).A − 
0,25 
Phương trình đường thẳng AD là 3 0.y− = Gọi N là điểm đối xứng 
của M qua AD. Suy ra N AC∈ và tọa độ điểm N thỏa mãn hệ 
1 3 0
2
1. 0.( 1) 0
y
x y
+⎧ − =⎪⎨⎪ + − =⎩
 (0;5).N⇒
0,25 
7.b 
Đường thẳng AC cĩ phương trình: 2 3 15 0x y
(1,0 điểm) 
.− + = 
Đường thẳng BC cĩ phương trình: 2 7x y 0.− − = 
Suy ra tọa độ điểm C thỏa mãn hệ: 
2 7 0
2 3 15 0.
x y
x y
− − =⎧⎨ − + =⎩ 
Do đĩ C (9;11).
0,25 
Ta cĩ vectơ chỉ phương của Δ là ( 2;3;2 ,AB= −JJJG ) ( 2;1;3).u = −JG 0,25 
Đường thẳng vuơng gĩc với AB và Δ, cĩ vectơ chỉ phương là , .v AB u= ⎡ ⎤⎣ ⎦
JG JJJG JG
 0,25 
Suy ra v ( )7; 2; 4 .=JG 0,25 
8.b 
(1,0 điểm) 
Đường thẳng đi qua A, vuơng gĩc với AB và Δ cĩ phương trình là: 1 1 .
7 2 4
x y z 1− + −= = 0,25 
Điều kiện: Hệ đã cho tương đương với 1; 1.x y> >−
2
3 3
2 4 1
log ( 1) log ( 1)
x y x
x y
+ = −⎧⎨ − = +⎩ 0,25 
2 2 3 0
2
x x
y x
− − =⎧⇔⎨ = −⎩ 0,25 
1, 3
3, 1.
x y
x y
=− =−⎡⇔ ⎢ = =⎣ 0,25 
9.b 
(1,0 điểm) 
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là (3 ;1). 0,25 
------------- Hết ------------- 
D B C H 
M 
N 
A