Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2008 (lời giải)

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2008
Bài 1. Hãy xác định tất cả các nghiệm của hệ phương trình (ẩn x, y) sau: 
 (I)
Lời giải: 
Dễ thấy, nếu (x, y) là các nghiệm của hệ (I) thì x > 1, y > 1 (3)
Đặt (do (3)). Ki đó, và từ phương trình (PT) (2) có . Vì thế. từ PT (1) ta có PT (ẩn t) sau: 
 (4)
Dễ thấy số nghiệm của hệ (I) bằng số nghiệm dương của PT (4).
Xét hàm số trên (0; +¥). 
Ta có Trên (0; +¥), và là các hàm nghịch biến và chỉ nhận giá trị dương. Vì thế, trên khoảng đó, là hàm đồng biến. Suy ra, f’(t) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +¥). Hơn nữa, do 
 nên $t0 Î (0; 1) sao cho f’(t0) = 0. Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số f(t) trên (0: +¥): 
t
0 t0 1 +¥
f’(t)
 - 0 + 
f(t)
+¥ +¥
 -12
 f(t0)
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (4) có đúng hai nghiệm dương. Vì vậy, hệ (I) có tất cả hai nghiệm.
Nhận xét: - Bài toán trên là trường hợp riêng của bài toán sau: 
Bài 1*. Cho số thực a ³ 17. Hãy xác định tất cả các nghiệm của hệ phương trình (ẩn x, y) sau: 
Cách giải bài toán này tương tự như trên.
Trường hợp a = 17 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = ()
(Trích từ báo Toán học và tuổi trẻ số 12/2008)