Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán 8 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Sơn Tiến

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Trường THCS Sơn Tiến
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC



Môn: Toán 8 - Thời gian làm bài: 120 phút





Câu 1 : (4đ) Cho biểu thức: P =
 a. Rút gọn P.
 b. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên?
nhau
Câu 2: (2,5 điểm) Cho a + b = x + y; a2 + b2 = x2 + y2. 
 Chứng minh rằng: a2010 + b2010 = x2010 + y2010 
Câu 3(4đ) : Giải các phương trình : 
a. 
b. 
Câu 4 (3,5đ): 
Chứng minh bất đẳng thức: . Với là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ nhất của . 
với dương và x +y 
Câu 5 : (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ góc xOy = 450 sao cho Ox cắt BC tại G (G nằm giữa B, C) Oy cắt DC tại H (H nằm giữa D, C). Gọi M là trung điểm AB. 
Chứng minh rằng:
a, ΔHOD đồng dạng ΔOGB.
b, GM // AH.
Câu 6: (2,0 điểm) Cho ΔABC biết góc A bằng 2 lần góc B và bằng 4 lần góc C.
Chứng minh rằng:	.


Hết








HƯỚNG DẪN CHẤM
 









Môn: Toán Lớp 8 

Câu
Nội dung
Điểm
1(4đ)

2đ





2đ

a. P xác định 
 
b. với ta có P = =












2(2,5đ)
Từ a + b = x + y (*)
 a – x = y – b
Mặt khác a2 + b2 = x2 + y2 
 a2 – x2 = y2 – b2 (a + x)(a – x) = (y + b)(y – b) 
(a + x)(a – x) = (y + b)(a – x)
 
Với (1) 
Với (2) 
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh




1,5đ





1đ
3(4đ)
a. Với x1 ta có x2- 2x+1 = 0 (x-1)2 = 0x= 1 ( TMĐK)
 với x<1 ta có x2 – 4x + 3 = 0(x-1)(x-3) = 0x=1( KTM ) x=3 ( KTM ) . Vậy nghiệm của PT là x=1 . 
b. ĐK : x 
 

2đ




2đ




4(3,5đ)

















5(4đ)

. Ta có : vì a, b > 0 nên ab(a+b) >0 chia 2 vế cho ab(a+b) ta được điều cần CM .
Áp dụng : ta có 
 Vì x, y >0 ; x + y 
vì ( x- y )2  0 nên x2 + y2 2xy (x + y)24xy xy
 dấu “=” xẩy ra khi 



a, HOD + O1=1350 
 OGB + O1=1350 nên HOD = OGB
->ΔHOD đồng dạng ΔOGB (g.g)
 b, từ câu a, suy ra :
 đặt BM = a
Thì AD = 2a , OB = OD = 
Ta có HD.BG = OB.OD =. =2a.a =AD.BM
=> => ΔAHD đồng dạng với ΔGMB(c.g.c)	
C
H
O
G
B
M
A
D
1
=> AHD = GMB 	do đó HAB = GMB => MG // AH



1đ






2,5đ









2đ






2đ



6(2đ)
Gọi D là giao điểm của AB
với đường trung trực của đoạn BC.
Khi đó ta có: 
ΔBCD cân tại D, ΔACD cân tại C 
 (1) 

D
 C
B
A
 2
 
 
3
4
Do CA là phân giác (Vì DC =DB) (2)
Cộng theo vế (1) và (2) ta được:





1đ






1đ