Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán 7 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Sơn Tiến

PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
 Trường THCS sơn Tiến NĂM HỌC: 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN 7 
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 


Câu 1. 
a. Thực hiện phép tính: 
 b. chứng minh : 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) 3
	
Câu 2.
a. Tìm x biết : 
b. Tìm biết: 
Câu 3. 
a. Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ ....+ n.
b. Cho Chứng minh: .
Câu 4.
 Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1)
 Chứng minh rằng : p2 = n + 2 
Câu 5. 
Cho tam giác ABC (), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a. AE = AF;
b. HA là phân giác của ;
c. CM // EH; BN // FH.
Câu 6. 
Cho ba số dương 0abc1 chứng minh rằng: 

Hết./.






Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................



 ĐÁP ÁN 
Môn thi: TOÁN 7
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
Câu 1
4 điểm
a. 
2 điểm
A = 	
A=




1


1



b. 2 điểm
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3
 = n(n+ 1)(n+2) :3

1
1
Câu 2
3 điểm
a. 1,5 điểm
b) ta có (*)
 Mà nên (*) xẩy ra dấu “=” 
Suy ra: 


1đ

0,5đ

b. 1,5.điểm
Ta có: xy + 2x - y = 5x(y+2) - (y+2) = 3
(y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1)
y + 2
3
1
-1
-3
x - 1
1
3
-3
-1
X
2
4
-2
0
Y
1
-1
-3
-5


1

0.5







Câu 3
 4 điểm
a. 2 điểm
Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: (a0).
Ta có : .
 
Vậy đa thức cần tìm là: (c là hằng số tùy ý).
Áp dụng: 	 
+ Với x = 1 ta có : 
+ Với x = 2 ta có : 
………………………………….
+ Với x = n ta có : 
S = 1+2+3+…+n = = .

0,5


0,5



0,5



0.5

b. 2 điểm
 
2bz - 3cy = 0 (1)
3cx - az = 0 (2); Từ (1) và (2) suy ra: 
0,5

0.5



0,5

0,5



Câu 4 
2đ điểm


	+ Nếu m + n chia hết cho p do p là số nguyên tố và m, n N* 
 m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2
 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 
m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại) 
 Vậy p2 = n + 2




1đ

1đ
Câu 5 
4,5 điểm
Hình vẽ 

0.25

a. 1 điểm
Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE = AH (1)
Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH = AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF
0.25
0.25
0. 5

b. 1,5 điểm
Vì MAB nên MB là phân giác MB là phân giác ngoài góc M của tam giác MNH 
Vì NAC nên NC là phân giác NC là phân giác ngoài góc N của tam giác MNH
Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của tam giác HMN hay HA là phân giác của .
0.25

0.25

0.25
0.25

c. 2 điểm
Ta có AH BC (gt) mà HM là phân giác HB là phân giác ngoài góc H của tam giác HMN
MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt) NB là phân giác trong góc N của tam giác HMN
BNAC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau). BN // HF ( cùng vuông góc với AC)
Chứng minh tương tự ta có: EH // CM
0.25

0.25

0.25

Câu 6
2,5 điểm








Vì nên:
 (1)
Tương tự: (2) ; (3) 
Do đó: (4)
Mà (5)
Từ (4) và (5) suy ra: (đpcm)




 Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
	Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm bài hình.