Đề thi giao lưu Toán tuổi thơ năm học 2006 – 2007

 Sở Giáo dục& Đào tạo 
 Hà Nam 
 &
Đề Thi giao lưu toán tuổi thơ
 Năm Học 2006 – 2007
( Thời gian làm bài : 90 phút)
Bài 1: 
 a/ Sắp xếp các phân số sau đây theo thứ tự tăng dần : 
 ,,,,,,,, và .
 b/ So sánh: 
 3 5 7 + 6 10 14 + 9 15 21 + 12 20 28 1001
 Với 
 5 7 9 + 10 14 18 + 15 21 27 + 20 28 36 3000
Bài 2: 
 Cho A = 2007 2007 ... 2007 ( Có 2006 thừa số 2007)
 B = 2006 2006 ... 2006 ( có 2005 thừa số 2006)
 Hãy cho biết hiệu A và B có chia hết cho 5 không? Tại sao?
Bài 3:
 Trung bình cộng của 4 số là 40. Nếu đem số thứ nhất nhân với 3, số thứ hai chia cho 3, số thứ ba cộng với 3 và số thứ tư trừ đi 3 thì được 4 kết quả bằng nhau. Tìm 4 số đó.
Bài 4:
 Ba khối 3, 4, 5 của một trường có khoảng 570 đến 590 học sinh. Biết số học sinh khối 3 bằng số học sinh khối 4 và bằng số học sinh khối 5. Tính số học sinh mỗi khối? Biết số học sinh cả 3 khối xếp hàng 5 thì không thừa bạn nào. 
Bài 5:
 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 306 cm2. M là điểm chính giữa của AB, Trên DM lấy điểm N sao cho DN = DM. AN cắt BD tại I. Tính diện tích hình MNIC.
Hướng dẫn đáp án
Bài 1: ( 4 điểm)
 a/( 2 điểm) Sắp xếp các phân số sau đây theo thứ tự tăng dần: 
 ,,,,,,,, và .
Giải: Phần bù với 1 của mỗi phân số trong dãy trên lần lượt là :
 ,,,,,,,, và ( 0.5 đ)
 Ta thấy: >>>>>>>>>. ( 0,75 đ)
 Vậy : <<<<<<<<<. (0,5 đ)
 Do đó dãy các phân số được xếp theo thứ tự tăng dần là:
 ,,,,,,,,, ( 0,25 đ)
 b/ So sánh:
 3 5 7 + 6 10 14 + 9 15 21 + 12 20 28 1001
 Với (2 điểm)
 5 7 9 + 10 14 18 + 15 21 27 + 20 28 36 3000
Giải: 3 5 7 + 6 10 14 + 9 15 21 + 12 20 28
 Đặt A = 
 5 7 9 + 10 14 18 + 15 21 27 + 20 28 36
Ta có:
A=
 3 5 7 + 2 ( 3 5 7) + 3 ( 3 5 7) + 4 ( 35 7)
 5 7 9 + 2 (5 7 9) + 3 (5 7 9) + 4 (5 7 9) ( 1,0 đ)
 ( 3 5 7) ( 1 + 2 + 3 + 4) 3 1 1000
 = = = = 	 ( 0,5 đ)
 ( 5 7 9) (1 + 2 + 3 + 4) 9 3 3000
 Vậy: A < (0,5 đ)
Bài 2: ( 2.5 điểm )
 Cho A = 2007 2007 .... 2007 ( Có 2006 thừa số 2007)
 B = 2006 2006 .... 2006 ( có 2005 thừa số 2006)
 Hãy cho biết hiệu A và B có chia hết cho 5 không ? Tại sao ?
Giải: 
 	* Xét A = 2007 2007 .... 2007 ( Có 2006 thừa số 2007)
 Ta chia 2006 thừa số 2007 thành các nhóm, mỗi nhóm có 4 thừa số thì ta được số nhóm là: 
 2006 : 4 = 501 (nhóm) dư 2 thừa số 2007. (0,25 đ)
 Mỗi nhóm 4 thừa số 2007 thì tích có tận cùng là 1 vì :
 ...7 ...7 ...7 ...7 = ...1
 501 nhóm như trên sẽ cho tích có tận cùng là 1 vì :
 ...1 ...1 ...1 ... ...1 = ....1 (0,5 đ)
 Hai thừa số 2007 còn lại cho tích có tận cùng là 9 vì :
 ...7 ...7 = ...9
 Vậy tích của 2006 thừa số 2007 có tận cùng là 9 vì : 
 ...1 ...9 = ...9
 Do đó tích A có tận cùng là 9. ( 0, 75 đ)
 	 * Xét B = 2006 2006 .... 2006 ( có 2005 thừa số 2006)
 Ta thấy tích các số có tận cùng là 6 thì tích có tận cùng là 6 vì:
 ...6 ...6 ...6 .... ...6 = ...6 
 Vậy tích B có tận cùng là 6. ( 0,5 đ)
 Ta thấy hiệu A và B là hiệu của một số có tận cùng là 9 và một số có tận cùng là 6 nên hiệu A và B có tận cùng là 3. Vì ...9 - ...6 = ...3
 Một số có tận cùng là 3 sẽ không chia hết cho 5. Vậy hiệu A và B không chia hết cho 5. ( 0,5 đ)
Bài 3: ( 3 điểm)
 Trung bình cộng của 4 số là: 40. Nếu đem số thứ nhất nhân với 3, số thứ hai chia cho 3, số thứ ba cộng với 3 và số thứ tư trừ đi 3 thì được 4 kết quả bằng nhau. Tìm 4 số đó?
 Giải: Tổng của 4 số là: 40 4 = 160 . ( 0,5 đ)
 Ta có sơ đồ:
Số thứ nhất: 
Số Thứ hai : 160
Số thứ ba: 3
Số thứ tư:	 3 
	Từ sơ đồ ta thấy : Nếu chuyển ở số thứ tư sang số thứ ba 3 đơn vị thì tổng của bốn số vẫn là 160 đơn vị và lúc này nếu coi số thứ nhất là một phần thì số thứ hai là 9 phần và số thứ ba là 3 phần, số thứ tư là 3 phần vậy tổng số phần là 16 phần.
 ( 0,5 đ)
 Số thứ nhất là : 160 : 16 = 10. ( 0,5 đ)
 Số thứ hai là : 10 9 = 90. ( 0,5 đ)
 Số thứ ba là : 10 3 – 3 = 27. ( 0,5 đ)
 Số thứ tư là : 10 3 + 3 = 33. ( 0,5 đ)
Bài 4: ( 3,5 điểm)
 Ba khối 3,4,5 của một trường có khoảng 570 đến 590 học sinh. Biết số học sinh khối 3 bằng số học sinh khối 4 và bằng số học sinh khối 5. Tính số học sinh mỗi khối? Biết số học sinh cả 3 khối xếp hàng 5 thì không thừa bạn nào. 
Giải:
 Vì số học sinh khối 3 bằng số học sinh khối 4 và bằng số học sinh khối 5. Do đó ta có:
 số học sinh khối 3 bằng số học sinh khối 4 và bằng số học sinh khối 5. ( 0,5 đ) 
 Vậy tổng số học sinh của ba khối 3,4,5 là số chia hết cho ( 12 + 9 + 8) = 29.
 (0,5 đ)
 Mặt khác số học sinh của cả 3 khối xếp hàng 5 thì không thừa bạn nào nên số học sinh của cả 3 khối là số chia hết cho 5. Trong các số từ 570 đến 590 có các số chia hết cho 5 là: 570, 575, 580, 585, 590. Trong các số đó chỉ có 580 chia hết cho 29. Vậy tổng số học sinh của cả 3 khối là 580 học sinh. (0,5 đ)
 Số học sinh của khối 3 là: 580 : 29 12 = 240 (H/S) (0,5 đ) 
 Số học sinh của khối 4 là: 580 : 29 9 = 180 (H/S) (0,5 đ)
 Số học sinh của khối 5 là: 580 : 29 8 = 160 (H/S) (0,5 đ)
 Đáp số: ( đúng cho 0,5 điểm).
Bài 5: ( 5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là: 306 cm2. M là điểm chính giữa của AB, Trên DM lấy điểm N sao cho DN = DM. AN cắt BD tại I.
Tính diện tích hình MNIC.
 M
 A B
 N
 I
 D C
Giải:
 ( 0,5 đ)	
 S AND = S AMN ( Vì cùng đường cao hạ từ A xuống DM, Đáy DN = MN) (1) 	 	(0,5 đ)
 M là điểm chính giữa của AB nên S ANM = S MNB ( Vì cùng có chiều cao hạ từ N xuống AB, AM = MB). (2) ( 0,5 đ)
 Từ (1) và (2) ta có S ABN = 4xS ADN. Tam giác ADN và tam giác ABN có cùng cạnh đáy AN nên đường cao hạ từ B xuống AN gấp 4 lần đường cao hạ từ D xuống AN. Đường cao hạ từ B, D xuống AD lần lượt là đường cao hạ từ B, D xuống AI của tam giác ABI và tam giác DAI . ( 1,0 đ)
 Do đó: S ABI = 4xS ADI. Mà tam giác ADI và tam giác ABI có chung đường cao hạ từ A xuống DB nên BI = 4xDI. (0.5 đ)
 S MNIC = (S MNIB + SBIC) - SMBC
 S BIC = = 122,4 (cm2). S ADM = 306 : 4 = 76,5 (cm2). ( 0,5 đ)
S AMN = 76,5 : 3 2 = 51 ( cm2). SADI = 306 : 2 : 5 = 30,6 (cm2) ( 0.5 đ)
S MNIB = S ABD – S ADI – SAMN = 306 : 2 – 30,6 – 51 = 71,4 (cm2). ( 0.5 đ)
S MNIC = (SMNIB + S BIC ) – S MBC = ( 71,4 + 122,4 ) – ( 306 : 4) = 117,3 ( cm2). 
 (0,5 đ)
 Lưu ý: Điểm chữ viết và trình bày : 2,0 điểm
 (Các cách giải đúng khác cho điểm tương tự).