Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 môn: toán - lớp 12 thpt thời gian làm bài: 180 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - lỚP 12 THPT
 Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số và đường thẳng 
 (với là tham số).
1) Khi . Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2.
2) Tìm để đường thẳngvà đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ). 
Câu 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình . 
2) Giải hệ phương trình (với )
Câu 3. (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với toạ độ cho hình thang ABCD vuông tại A và D có điểm , đường thẳng BD có phương trình. Biết rằng đường thẳng lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho và tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương). 
2) Trong không gian với hệ toạ độ cho hai điểm và mặt phẳng . Tìm toạ độ điểm sao cho tam giác ABC cân tại B và có diện tích bằng .
Câu 4. (3 điểm) Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông với AB. Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng với . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo . 
Câu 5. (3 điểm)
1) Tính tích phân .
2) Từ các chữ số thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số . 
Câu 6. (2 điểm) Cho các số thực thay đổi thoả mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 
Họ và tên thí sinh : Chữ ký của Giám thị 1 : 
Số báo danh :  Chữ ký của Giám thị 2 : 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT 
 Câu
Nội dung
Điểm
1.1
(2,0)
Khi , hàm số là (C). Gọi . Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: (1)
0,5
Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2 
0,5
+ Nếu , phương trình (1) có dạng: 
0,5
+ Nếu , phương trình (1) có dạng: 
Vậy có hai tiếp tuyến là và thoả mãn yêu cầu.
0,5
1.2
(2,0)
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và () là nghiệm phương trình:
 .
0,5
Vậy và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt .
Khi đó, ba giao điểm là A có hoành độ là 1 và , trong đó là nghiệm phương trình (2) nên 
0,5
Tam giác OBC có diện tích . Trong đó 
0,5
0,25
Vậy . Đối chiếu ĐK, Kết luận: .
0,25
2.1
(2,5)
Với điều kiện : , Phương trình đã cho tương đương : 
0,5
0,5
 (vì )
0,5
 (1)
0,5
Giải phương trình (1) và đối chiếu ĐK, kết luận nghiệm của phương trình đã cho là: ; . 
0,5
2.2
(2,5)
 ĐKXĐ: . 
Ta có 
0,5
 (1). Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :
.
0,5
 (*)
Xét hàm số với . Ta có đồng biến trên . 
1,0
Mặt khác, phương trình (*) có dạng . 
A
B
D
C
H
N
d
Thay vào (1) ta tìm được .Vậy hệ đã cho có nghiệm là 
0,5
3.1
(1,0)
M
Kẻ ABHD là hình vuông và 
Mặt khác, BN là phân giác của góc vuông MBC CBNMBN
Vậy 
0,25
 mà .
0,25
Điểm D thuộc BD, nên và BD = 4. Ta có .
0,25
 Theo giả thiết . Vậy D(5; 2).
0,25
3.2
(2,0)
 Tính được AB = 5. 
0,25
Gọi I là trung điểm AC, ta có . Mặt khác 
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
0,5
. Điều kiện để có điểm C là và BC =5
0,5
 . 
0,25
 Giải hệ được hai nghiệm (a ; b) là (6 ; -2) ; (-4 ; -2). 
 0,25
Vậy có hai điểm C thoả mãn yêu cầu có toạ độ là (6 ; -2 ; 4) , (-4 ; -2 ; 4). 
0,25
4.
(3,0)
S
A
C
D=D
B
H
Mà .
Gọi d là khoảng cách từ D đến (SBC)
. Mặt khác :
0,25
0,5
0,5
Do AD//BC . Xét tam giác SAD
 vuông tại A có AD = 2a và 
0,25
Kẻ tại H và 
Vậy .
0,5
Ta có .
0,25
Mà (1)
0,25
Tam giác SBD có: , , tam giác SBD vuông tại S 
0,25
Thay vào (1) có .
0,25
5.1
(2,0)
Đưa về 
0,25
Xét . Đặt 
0,25
0,5
. Đặt 
0,25
Đổi cận: 
0,25
0,25
 I= .
0,25
5.2
(1,0)
Số cần lập có dạng , trong đó luôn có mặt chữ số 6. 
Xảy ra các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu . Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số cho 4 vị trí còn lại trường hợp này có số.
0,25
Trường hợp 2: Nếu , có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6. Khi đó, có 5 cách chọn . Sau khi chọn và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3 vị trí được chọn từ 4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là trường hợp này có 4.5. số.
0,5
Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là + 4.5. =1560.
0,25
6.
(2,0)
Từ giả thiết (1) , ta có: 
Đặt .
0,5
Ta luôn có 
Dấu “=” xảy ra . Vậy 
0,5
Do đó GTNN của P bằng GTNN của hàm với 
0,25
Ta có 
0,25
Hàm số liên tục trên đồng biến trên . Vậy min P = - 3.
0,5
Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình, thì giám khảo thống nhất chia điểm thành phần tương ứng.
--------------------HẾT-----------------