Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp thành phố môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
CẤP THÀNH PHỐ
Môn : Toán
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề )
Khóa thi ngày : 04.03.2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (4, 0 điểm)
a) sin 6𝑥+ sin 2𝑥+ sin3 2𝑥 = 4(sin6 𝑥+ cos6 𝑥)
b) (3𝑥+ 2)
√
2𝑥2 − 3 = 5𝑥2 + 𝑥− 6
Bài 2 (3, 0 điểm)
Giải hệ phương trình {︂
16𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2 = 12
8𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 28𝑥− 5𝑦 = −18
Bài 3 (3, 0 điểm)
Cho hai số không âm 𝑎, 𝑏 thỏa mãn điều kiện 𝑎 + 𝑏 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
𝑃 =
√
1 + 𝑎2014 +
√
1 + 𝑏2014
Bài 4 (4, 0 điểm)
Tìm 𝑚 để phương trình
√
𝑚𝑥2 +𝑚𝑥+ 3 = 𝑚𝑥+ 1 có nghiệm duy nhất.
Bài 5 (4, 0 điểm)
Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều, 𝑆𝐴 = 2
√
3 và hình chiếu 𝐻 của 𝐴 lên
(𝑆𝐵𝐶) là trực tâm tam giác 𝑆𝐵𝐶 (𝐻 nằm trong tam giác 𝑆𝐵𝐶). Giả sử góc giữa hai mặt
(𝐻𝐴𝐵) và (𝐴𝐵𝐶) có số đo bằng 300, tính thể tích khối chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶.
Bài 6 (4, 0 điểm)
Với số tự nhiên 𝑛 ≥ 2, gọi 𝑎𝑛 là hệ số của 𝑥 trong khai triển nhị thức (5 +
√
𝑥)𝑛. Tìm giá trị
của 𝑛 để biểu thức 𝐴 = 5
2
𝑎2
+ 5
3
𝑎3
+ 5
4
𝑎4
+ ...+ 5
𝑛
𝑎𝑛
có giá trị bằng 48.
------------------------------------ HẾT ------------------------------------