Chuyên đề về Chứng minh các bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Khái niệm: 
 A > B Û A – B > 0 ; A < B Û A – B < 0 
 A ≥ B Û A – B ≥ 0 ; A ≤ B Û A – B ≤ 0 
2. Tính chất: 
 1) A > B và B > C Þ A > C 
 2) A > B Û A + C > B + C. 
 3) A > B Û AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C < 0. 
 4) A > B, C > D Û A + C > B + D. 
 5) A > B > 0 và C > D > 0 Þ A.C > B.D 
 6) A > B > 0 và n Î N* Þ An > Bn. 
 7) A > B > 0 và n Î N Þ n nA B> . 
 8) A > B Þ 1 1
A B
 0. Hoặc: 1 1
A B
> nếu AB < 0. 
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
1. Phương pháp biến đổi tương đương 
Bài 1: Chứng minh: a + b ≥ ab (1) "a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi) 
HD: (1) Û a + b – ab = ( )2a b 0- ³ (đúng). 
Bài 2: Chứng minh: (a + b)2 ≥ 4ab. 
HD: Biến đổi đưa về (a – b)2 ≥ 0. 
Bài 3: Chứng minh: a2 + b2 ≥ 2ab. 
HD: Xét hiệu, đưa về (a – b)2 ≥ 0. 
Bài 4: Chứng minh: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2). (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky). 
HD: Biến đổi hiệu (ac + bd)2 – (a2 + b2)(c2 + d2) thành (ay – bx)2. 
Bài 5: Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 
HD: Biến đổi hiệu a2 + b2 + c2 – ab + bc + ca thành (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 
Bài 6: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + 1 ≥ a + b + c + d. 
HD: Biến đổi a2 + b2 + c2 + d2 + 1 – a + b + c + d thành:
2 2 2 21 1 1 1a b c d
2 2 2 2
æ ö æ ö æ ö æ ö- + - + - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Bài 7: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ a(b + c + d + e) 
HD: Biến dổi về dạng: 
2 2 2 2b c d ea a a a 0
2 2 2 2
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- + - + - + - ³÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø
Bài 8: Chứng minh: (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) 
HD: Biến đổi về dạng: (ay – bx)2 + (az – cx)2 + (bz – cy)2 ≥ 0 
Bài 9: Chứng minh a4 + b4 ≥ ab3 + a3 b. "a, b ≥ 0. 
HD: Biến đổi, phân tích thành: (a – b)2(a2 + ab + b2) = 
2 2
2 b 3b(a b) a 0, a,b
2 4
é ùæ öê ú÷ç- + + ³ "÷çê ú÷çè øê úë û
. 
Bài 10: Chứng minh: 
33 3a b a b
2 2
æ ö+ + ÷ç³ ÷ç ÷çè ø
HD: Xét hiệu, phân tích thành nhân tử Þ đpcm. 
Bài 11: Chứng minh: 
22 2a b a b
2 2
+ +æ ö³ ç ÷
è ø
. 
HD: Quy đồng mẫu, xét hiệu đưa về dạng: (a – b)2 ≥ 0. 
Bài 12: Chứng minh:
22 2 2a b c a b c
3 3
+ + + +æ ö³ ç ÷
è ø
HD: Xét hiệu, đưa về dạng: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0. 
CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 2 
Bài 13: Chứng minh: x y 4
xy x y
+
³
+
. "x, y > 0. 
HD: Biến đổi về (x + y)2 ≥ 4xy Þ tương tự bài 2. 
Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A = 2005 2007+ và B = 2 2006 . 
HD: Chứng minh A2 ≥ B2 Þ đpcm. 
Bài 15: Chứng minh: a2 + b2 ≥ a + b 1
2
- . 
HD: Biến đổi đưa về 
2 21 1a b 0
2 2
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- + - ³÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Bài 16: Chứng minh: 
2
2
a a 1 3
2a 1
+ + £
+
HD: Quy đồng: 2a2 + 2a + 2 ≤ 3a2 + 3 Û (a – 1)2. 
Bài 17: Chứng minh: a) 1a 2, a 0
a
+ ³ " > . b) 1a 2, a 0
a
+ £ - " < . 
HD: a) Vì a > 0 nên: a2 – 2a + 1 ≥ 0 Û (a – 1)2 ≥ 0. b) Vì a < 0: a2 + 2a + 1 ≥ 0 Û (a + 1)2 ≥ 0. 
Bài 18: Chứng minh: a) Nếu ab > 0 thì: a b 2
b a
+ ³ . b) Nếu ab < 0 thì: a b 2
b a
+ £ - . 
HD: a) Từ (a – b)2 ≥ 0 Û a2 + b2 ≥ 2ab. Chia cả hai vế của a2 + b2 ≥ 2ab cho ab > 0 Þ đpcm. 
 b) Chia cả hai vế của a2 + b2 ≥ –2ab cho ab < 0 Þ đpcm 
Bài 19: Cho x ≥ y, a ≥ b. Chứng minh: ax by a b x y.
2 2 2
+ + +³ . 
HD: Biến đổi, đưa về: (a – b)(x – y) ≥ 0 (đúng). 
Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh: a b c 1 1 12
bc ca ab a b c
æ ö÷ç+ + ³ + + ÷ç ÷çè ø
. 
HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy đồng, biến đổi về: (a + b + c)2 ≥ 0 (đúng). 
Bài 21: Cho ab ≥ 1. Chứng minh: 2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b
+ ³
++ +
 (*). 
HD: (*) Û 
2 2
2 2 2 2
2 a b 2
1 ab1 a b a b
+ + ³
++ + +
Û (a – b)2(1 – ab) ≤ 0 (đúng). 
Bài 22: Cho x, y ≠ 0. Chứng minh: 
2 2
2 2
x y x y4 3
y xy x
æ ö÷ç+ + ³ + ÷ç ÷ç ÷è ø
. 
HD: Đặt x y t
y x
+ = ( | t | ≥ 2 ). Bất đẳng thức viết lại: t2 – 3t + 2 ≥ 0 Û (t – 1)(t – 2) ≥ 0, "| t | ≥ 2. 
Bài 23: Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, "a. 
HD: BĐT Û t(t + 6) + 15 ≥ 0 Û (t + 3)2 + 6 > 0, "a 
Bài 24: Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, "x. 
HD: Làm tương tự bài 23. 
Bài 25: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh: a3 + b3 ≥ ab(a + b). 
HD: Xét hiệu đưa về bất đẳng thức: (x + y)(x – y)2 ≥ 0. 
2. Phương pháp làm trội, ước lượng 
Bài 26: Chứng minh rằng tổng sau đây không là số tự nhiên: 2 2 2 2
1 1 1 1S ... (n 2)
1 2 3 n
= + + + + ³ . 
HD: Dễ thấy A > 1. Mặt khác: 1 1 1 1 1A 1 ... 2 2
1 1.2 2.3 (n 1)n n
< + + + + + = - <
-
 Vậy: 1<A<2. 
Bài 27: Chứng minh: *1 1 1 3A ... .( n N )
1.3 2.4 n(n 2) 4
= + + + < " Î
+
. 
CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 3 
HD: Làm tương tự bài 1. 
Bài 28: Chứng minh: *1 1 1 1A ... .( n N )
2.5 5.8 (3n 1)(3n 2) 6
= + + + < " Î
- +
HD: Làm tương tự bài 1. 
Bài 29: Chứng minh: *1 1 1A ... 1.( n N )
1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2)
= + + + < " Î
+ +
HD: Sử dụng: 1 1 1 1
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
é ù
ê ú= -ê ú+ + + + +ë û
Bài 30: Chứng minh: A = 1 1 1 1 1+ + + ... + > (n N,n > 1)
n+ 1 n+ 2 n+ 3 2n 2
Î 
HD: Thay mỗi số hạng của tổng bởi số nhỏ nhất là 1
2n
 Þ 1 1A .n
2n 2
> = (đpcm). 
Bài 31: Chứng minh: B = 2
1 1 1 1+ + + ... + 1.(n N,n > 1)
n n+ 1 n+ 2 n
> Î 
HD: Thay mỗi số hạng của tổng bởi số nhỏ nhất là 2
1
n
 Þ 22
1 1B .(n n) 1 1
nn
> - = - > (đpcm). 
Bài 32: Chứng minh: C = 1 1 1 1+ + + ... + < 1
2! 3! 4! n!
 (n Î N, n ≥ 2) 
HD: A < 1 1 1 1 1... 1 1.
1.2 2.3 3.4 (n 1)n n
+ + + + = - <
-
Bài 33: Chứng minh: D = 1 2 3 n- 1+ + + ... + 1
2! 3! 4! n!
< (n Î N, n ≥ 2) 
HD: 2 1 3 1 n 1 2 1 3 1 n 1D ... ...
2! 3! n! 2! 2! 3! 3! n! n!
- - -= + + + = - + - + + - 
 1 1 1 1 1 11 ... 1 1
2! 2! 3! (n 1)! n! n!
= - + - + + - = - <
-
Bài 34: Chứng minh: A = 2 2 2 2
1 1 1 1 1+ + + ... + <
22 4 6 (2 n)
 (n Î N, n ≥ 1). 
HD: C1: 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A 1 ... 1 ... 2
4 4 1.2 2.3 (n 1)n n 22 3 n
æ öæ ö æ ö÷ç÷ ÷ç ç= + + + + < + + + + ÷ = - <÷ ÷çç ç÷÷ ÷ç çç ÷è ø è ø-è ø
. 
C2: 
( )2 2 22
1 1 1 1 1 1 1 1 1A ... ... 1
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 22 1 4 1 2n 1
æ ö÷ç< + + + = + + + = - <÷ç ÷çè ø- + +- - -
Bài 35: Chứng minh: 2 2 2 2
1 1 1 1 1...
43 5 7 (2n 1)
+ + + + <
+
 (n Î N, n ≥ 1). 
HD: Làm tương tự cách 2 của bài 6 Þ đpcm. 
Bài 36: Chứng minh: 2 2 2 2
1 1 1 1 2...
32 3 4 n
+ + + + < (n Î N, n ≥ 2). 
HD: Nhận xét: 2 2
1 4 1 12
2n 1 2n 1n 4n 1
æ ö÷ç< = + ÷ç ÷çè ø- +-
Þ A = 1 1 22
3 2n 1 3
æ ö÷ç - <÷ç ÷çè ø+
. 
Bài 37: Chứng minh: 2 3
1 1 1 11 ... 2
2 2 2 2
+ + + + + <n . 
HD: 2 3 n 1
1 1 1 12A 2 1 ...
2 2 2 2 -
= + + + + + + Þ A = 2A – A = n
12
2
- < 2. 
Bài 38: Chứng minh: B = 2 3 100
1 2 3 100... 2
2 2 2 2
+ + + + < 
CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 4 
HD: Làm tương tự bài 9, áp dụng kết quả của bài 9 với n = 99 ta được: B = A 100
100 A 2
2
- < < . 
Bài 39: Chứng minh: B = 3 3 3 3
1 1 1 1 1...
123 4 5 n
+ + + + < 
HD: Ta có: 3 3
1 1 1 1 1 1
(n 1)n(n 1) 2 n(n 1) n(n 1)n n 1
æ ö÷ç< = = - ÷ç ÷ç ÷- + - +- è ø
Þ B < 1 1 1.
2 6 12
= . 
Bài 40: Chứng minh: A = 2 3 100
1 1 1 100 3...
3 43 3 3
+ + + + < . 
HD: Ta có: 3A = 2 99 2 99 100
2 3 100 1 1 1 1001 ... 2D 1 ...
3 33 3 3 3 3
+ + + + Þ = + + + + - . 
Đặt: S = 2 99
1 1 11 ...
3 3 3
+ + + + Þ 3S – S = 2S = 99
13 3
3
- < Þ 2D < S Þ 4D < 2S Þ D < 3
4
. 
Bài 41: Chứng minh: 1.2 1 2.3 1 3.4 1 99.100 1... 2
2! 3! 4! 100!
- - - -
+ + + + < . 
HD: Ta có: n(n 1) 1 1 1
(n 1)! (n 1)! (n 1)!
+ - = -
+ - +
Þ A = 1 1 1 1 1 1 1 1 2.
2 1! 2! 99 100 2 1! 2!
+ + - - < + + = 
Bài 42: Chứng minh: B = 1 1 1 11 1 1 ... 1 2
1.3 2.4 3.5 n(n 2)
æ öæ öæ öæ ö+ + + + <ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷+è øè øè ø è ø
("n Î N, n ≥ 1) 
HD: Nhận xét: 
21 (n 1)1
n(n 2) n(n 2)
++ =
+ +
. B = 
2 2 22 3 (n 1) n 1 2. ... . 2
1.3 2.4 n.(n 2) 1 n 2
+ += <
+ +
. 
Bài 43: Chứng minh: A = 2 2 2 2 11 1 1 ... 1
6 12 20 n(n 1) 3
æ öæ öæ öæ ö- - - - >ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷+è øè øè ø è ø
 (n Î N, n ≥ 2) 
HD: Nhận xét: 2 (n 1)(n 2)1
n(n 1) n(n 1)
- +- =
+ +
. Thay vào và rút gọn: A = 1 n 2 1.
n 3 3
+ > . 
Bài 44: Chứng minh: *2 2
1 1 1 1... .( n N )
5 13 2n (n 1)
+ + + < " Î
+ +
. 
HD: Sử dụng: 2 2 2
1 1 1 1 1
2 n n 1n (n 1) 2n 2n 1
æ ö÷ç= < - ÷ç ÷çè ø++ + + +
Þ đpcm. 
Bài 45: Chứng minh: *1 1 1 1 1... .( n N )
1.3 1.2.4 1.2.3.5 1.2.3...n(n 2) 2!
+ + + + < " Î
+
HD: Sử dụng: A = 1 n 1 n 2 1
1.2.3...n(n 2) 1.2.3...n(n 1)(n 2) 1.2.3...n(n 1)(n 2)
+ + -= =
+ + + + +
 1 1 1 1
1.2.3...n(n 1) 1.2.3...n(n 1)(n 2) (k 1)! (k 2)!
= - = -
+ + + + +
Þ đpcm. 
Bài 46: Chứng minh: 
2 2 2
1 1 1... 1
n 1 n 2 n 2005
+ + + <
+ + +
. 
HD: Sử dụng: 
2 2
1 1 1 . (k = 1, 2, ..., 2005)
nn k n
< =
+
Þ đpcm. 
Bài 47: Chứng minh: *1 1 1... , n N
2 1 3 2 (n 1) n
+ + + " Î
+
HD: 1 ( n 1 n)( n 1 n ) 2 n 1.( n 1 n ) 1 12
(n 1) n (n 1) n (n 1) n n n 1
æ ö+ + + - + + - ÷ç ÷= < = -ç ÷ç ÷çè ø+ + + +
. 
CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 5 
Bài 48: Chứng minh: S = 1 1 1 20052. ...
20073(1 2) 5( 2 3) 4011( 2005 2006)
æ ö÷ç ÷+ + + <ç ÷ç ÷ç + + +è ø
. 
HD: Với n ≥ 1: 
2
2 2( n 1 n ) 2( n 1 n ) 1 1
(2n 1)( n n 1) 2 n(n 1) n n 14n 4n 1
+ - + -= < = -
+ + + + ++ +
Þ S < 
2
2 2 2 n1 1 1
n 2 n 24n 4 n 4n 4
- < - = - =
+ ++ + +
. Cho n = 2005. 
Bài 49: Cho số A gồm 2007 số hạng sau: 
2 3 4 2007
2 2 3 20062 2 2
2 2 2 2 2A ...
2007 1 2007 1 2007 1 2007 1 2007 1
= + + + + +
+ + + + +
.Hãy so sánh A với 1
1003
. 
HD: Với các số tự nhiên m, k lớn hơn 1 ta có: 
2 2 2
m m mk m mk m 2m m m 2m
k 1 k 1 k 1 k 1k 1 k 1 k 1
+ - +
- = = Þ = -
- + + -- - -
. 
Suy ra: 
2008
20072
1 2 1A
1003 10032007 1
= - <
-
 . 
3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ 
Bài 50: Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh tam giác. Chứng minh: 
a) ab + bc + ac ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) 
b) abc > (a – b + c)(a + c – b)(b + c – a) 
c) 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 > 0. 
d) a2(b + c – a) + b2(c + a – b) + c2(a + b – c) ≥ 3abc. 
HD: Biến đổi, đưa về bất đẳng thức tam giác. 
Bài 51: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)c ≥ 6abc. 
HD: Áp dụng bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ 2xy Þ đpcm 
Bài 52: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: ab bc ac a b c
a b b c a c 2
+ ++ + £
+ + +
. 
HD: Áp dụng: (x + y)2 ≥ 4xy, chia hai vế cho số dương 4(x + y): xy x y
x y 4
+£
+
. Thay x, y bằng 3 
cặp số (a, b), (b, c), (c, a). Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức Þ đpcm. 
Bài 53: Chứng minh: 
2 2 2
2 2 2
a b c c b a
b a cb c a
+ + ³ + + . 
HD: Áp dụng x2 + y2 ≥ 2xy. Nhân 2 vế với 2, làm tương tự bài 3 với 3 cặp a b b c c a, , , , ,
b c c a a b
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
. 
Bài 54: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 2 2 2 1 1 1
a b b c a c a b c
+ + £ + +
+ + +
. 
HD: Áp dụng bổ đề: 4 1 1
x y x y
£ +
+
 cho các cặp số (a, b), (b, c), (c, a) Þ đpcm. 
Bài 55: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 2(a3 + b3 + c3) ≥ a2(b + c) + b2(b + c) + c2(a + b). 
HD: Áp dụng bất đẳng thức: x3 + y3 ≥ xy(x + y) cho 3 cặp giao hoán a, b, c Þ đpcm. 
Bài 56: Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh: 
2 21 1 25a b
a b 2
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ + + ³÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
. 
HD: Áp dụng: 
2
2 2 (x y)x y
2
++ ³ với 1 1x a , y b
a b
= + = + Þ VT ≥ 
( )
2
2
11 1 4 25ab
2 2 2
æ ö÷ç + ÷ç ÷ç +è ø ³ = . 
Cần chú ý là 1 4
ab
³ vì 
2a b 1ab
2 4
æ ö+ ÷ç£ =÷ç ÷çè ø
. 
CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 6 
Bài 57: Cho a, b > 0. Chứng minh: ( ) 1 1a b 4
a b
æ ö÷ç+ + ³÷ç ÷çè ø
. 
HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a b 2 ab+ ³ , 1 1 2
a b ab
+ ³ . 
Bài 58: "a, b, c > 0. Chứng minh: 1 1 1(a b c) 9
a b c
æ ö÷ç+ + + + ³÷ç ÷çè ø
. 
HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số. Làm tương tự bài 8. 
Bài 59: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: (a + b)(b +c)(c + a) ≥ 8abc. 
HD: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi Þ suy ra đpcm. 
Bài 60: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: bc ca ab a b c
a b c
+ + ³ + + 
HD: Viết lại Bất đẳng thức: a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b + c). Áp dụng Côsi Þ đpcm. 
Bài 61: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a b c 3
b c a c b a 2
+ + ³
+ + +
. 
HD: Biến đổi vế trái, Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số. Ta được: 
[ ]a b c 1 1 1 1 3+1 +1 +1 3 (a+b) (b+c) (c+a) + + 3
b c a c b a 2 a b b c c a 2
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç+ + - = + + - ³÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø+ + + + + +
. 
Bài 62: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 
2 2 2a b c a b c
b c a c b a 2
+ ++ + ³
+ + +
. 
HD: Áp dụng Côsi: 
2 2 2a b c b a c c a b
b c 4 a c 4 b a 4
æ ö æ ö æ ö+ + +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ + + + +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç+ + +è ø è ø è ø
≥ a + b + c Þ đpcm. 
Bài 63: Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c = 1. Chứng minh: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 8
729
. 
HD: Áp dụng Côsi: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 
3 3a b c a b b c c a 8
3 729
æ ö æ ö+ + + + + + +÷ ÷ç ç =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
. 
Bài 64: Chứng minh: (p – a)(p – b)(p – c) ≤ abc
8
 (a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, p là nửa chu vi ). 
HD: Áp dụng Côsi cho 3 cặp số: (p – a, p – b), (p – b, p – c), (p – c, p – a) Þ đpcm. 
Bài 65: Cho a > b và ab = 1. chứng minh: 
2 2a b 2 2
a b
+ ³
-
. 
HD: Biến đổi vế trái, áp dụng bất đẳng thức Côsi: 
2(a b) 2ab 2VT (a b) 2 2
a b a b
- += = - + ³
- -
. 
Bài 66: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: 3 bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra: 
 a) a + b < c + d (1) 
b) (a + b)(c + d) < ab + cd (2) 
c) (a + b)cd < (c + d)ab (3) 
(Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2005 – 2006) 
C1: Đặt A = c + d – a – b > 0, B = ab – ac – ad – bc – bd + cd > 0, C = abc + abd – acd – bcd > 0. 
Xét phương trình P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = 0 Û x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + abcd = 0. 
Phương trình P(x) = 0 có các hệ số dương, do đó không thể có nghiệm dương. Theo cách đặt thì 
phương trình P(x) = 0 lại có 2 nghiệm dương a và b (vô lí) Þ đpcm. 
C2: Giả sử 3 bất đẳng thức trên là đúng. Từ (1) và (2) Þ (a + b)2 < ab + cd (*). 
 Từ (2) và (3) Þ (a + b)2cd < (ab + cd)ab (**). 
 Từ (*) Þ 4ab 3ab (4) 
 Từ (**) Þ 4abcd < (ab + cd)ab Þ 4cd < ab + cd Þ ab < 3cd (5). Từ (4) và (5) Þ đpcm.