Các bài toán phương trình hàm trong toán học tuổi trẻ gần đây

Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 1 
CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TỐN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY 
 
I. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2009 
Bài T9/375: - THTT tháng 1/2009 tr24 
 Cho dãy số ( )nx (n = 0, 1, 2…) thỏa mãn 0 1
2 1
2
2
; nn
n
x
x x
x

 

. Tính 
1
n
k
k
x

 
 
 
 , trong đĩ x   kí 
hiệu số nguyên lớn nhất khơng vượt quá x. 
 
Chứng minh quy nạp theo n ta thấy ngay 0 0,nx n   
Nhận xét rằng: 1 1
2 1 1 3 1
1 1 1
2 2 2
( )n n n
n n
n n n
x x x
x và x
x x x 
  
     
  
 
Từ đĩ ta cĩ cơng thức truy hồi: 1
1
1 11 0 1
1 3 1
, ( )n n
n n
x x
n
x x


 
 
 
 
Do đĩ với mọi 1n  thì: 11 0 1
1 0
1 1 11 1 1 3 1 1
1 3 1 13 3
... . : ( )nn n n nn n
n n
x x x
Suy ra x x
x x x



  
      
  
 
1
1 1 1 2
3 1 2 1 1 11 1 1 1 1
3 1 3 1 3 3 3 1 3 2
: ,
n
n n n n n n n n
Bởi vậy x n

   

          
    
 
Hệ quả là: 2
1
1 1 1 11 1
2 2 2 2
...
n
k n n
k
n x n n n

           
1
:
n
k
k
Suy ra x n

 
 
 
 
 
Bài T11/376: - THTT tháng 2/2009 tr24 
Cho dãy số dương 2( ),nu n  thỏa mãn hai điều kiện sau: 
1 2
1 2
1004
2008
/ ... , .
/ ...
n
n
i u u u với số nguyên dương k nào đó
k
ii u u u
   
   
 
Chứng minh rằng trong dãy ( nu ) cĩ thể chọn ra k số hạng sao cho trong k số đĩ thì số nhỏ nhất lớn 
hơn một nửa số lớn nhất. 
 
Giả sử ngược lại, trong mọi nhĩm k số hạng thì số nhỏ nhất khơng lớn hơn một nửa số lớn nhất. 
Xét các nhĩm gồm k số hạng sau: 1 2 2 3 1 1 2( , ,..., ); ( , ,..., ); ...;( , ,..., )k k n k n k nu u u u u u u u u     , khi đĩ ta cĩ: 
1
2
1
1
2
2
2
...
k
k
n k
n
u
u
u
u
u
u

 










 
1 1 2 1
1
1 1 2 1
2 2008
1004 1004 1
: ( ... ) ...
... . : ... ( )
n
k k n n k i
i
k k n k
Suy ra u u u u u u u
u u u suy ra u u u
  

 
        
        
 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 2 
1 2 1 1 2 1 1
1004 10041 1 1004 2: : ... ... ( ) ( ) ( )k k kMặt khác vì u u u nên u u u k u kk k  
            
Từ (1), (2) ta thấy cĩ mâu thuẩn. Vậy điều giả sử của ta là sai. Do đĩ bài tốn được chứng minh. 
 
Bài T11/377: - THTT tháng 03/2009 tr24 
Cho dãy số ( )nu được xác định như sau: 1 2 1 11 4 5 2 3; , , ...n n nu u u u u n       
Chứng minh rằng với mọi số thực 5a  , ta đều cĩ: 0lim nn
u
a
 
 
 
 
 
1
1
1 2 1
1
10 5 1 1
2 5
1 4 5 4 5 1 1 5 2 2
4 5
5
*cos . ( ) (cos( ) sin( ) ),
: ( ) (cos( ) sin( ) ) ( ) (cos( ) sin( ) )
( ) (cos .cos sin sin sin .cos cos sin )
( ) .(c
n
n
n n
n n
n
n
Xét mà Đặt v n n n
Ta có v v và v v n n n n
n n n n

   
   
       




       
          
    


 
 
1 2
1
2 2 2 2
3 1 7 14 5 5 5 5 5
5 55 5
5
os .cos sin sin sin cos cos .sin )
( ) cos sin ( ) cos sin ( ) cos sin
( ) cos sin
n n n
n
n
n n n n
n n n n n n
n n v
       
     
 
 

  
   
        
  
  
 
2 3 42 2 1 2 2
5 5
5
5 1 1 0
*
( : cos cos ; sin sin cos )
: ,
lim lim (cos( ) sin( ) )
n n
n
n
n
Chú ý
Do đó u v n
Bởi vậy với mọi số thực a
u
n n
aa
    
 
    
  

  
        
  

 
Chú ý: Dãy số trên được tìm ra từ PT đặc trưng: 2 4 5 0x x   
 
Bài T9/380: - THTT tháng 06/2009 tr22 
Cho dãy số ( )nx được xác định như sau: 0 1 2 0 1 2; sin , , , ...( , )n nx a x x x n a x       
Chứng minh rằng tồn tại giới hạn 1 2
...
lim nn
x x x
n
   
 
 
 và tìm giới hạn đĩ. 
 
Đặt 2sind x   , khi đĩ rõ ràng ( )nx là CSC với cơng sai d. Từ đĩ: 
1 2
2
12
2
2 2 2 2
( )... ( ) ( ) ... ( ) .
sin: lim lim
n n
n
n n
S x x x a d a d a nd na d
S a d d d x
Do đó
n nn


            
 
      
 
 
Bài T6/384: - THTT tháng 10/2009 tr21 
Với mỗi số tự nhiên n, gọi p(n) là ước số lẻ lớn nhất của n. Hãy tính tổng: 
4012
2006
( )
n
p n

 
 
Từ định nghĩa, dễ thấy: 2 2 1 2 1( ) ( ); ( )p n p n p n n    
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 3 
2
1 1
1
2
1
2
1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1
2 1
3 5 7 2 1 1 3 5 7 2 1
( ), : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ).
: ( ... ) ...
( )
k
k k k k
n k
k
k k k k
k
k
Đặt S p n ta có S S p k p k p k S p k k p k
Vậy S p k S k p k k
Đặt u S p k Khi đó u u k
Suy ra u u k k k
Vậy S p k k
D
 


            
      
    
              
 

4012
2 2
2006
2006
2006 2006 2006 1003 4025039: ( ) ( ) .
n
o đó p n S p

     
 
Bài T6/385: - THTT tháng 11/2009 tr20 
Cho dãy số ( )nu được xác định như sau: 0 1 1 29 161 18 2 3; , , ...n n nu u và u u u n       
Chứng minh rằng 
2 1
5
nu  là số chính phương với mọi số tự nhiên n 
 
Nhận xét rằng mọi số hạng của dãy đã cho đều nguyên. Với n = 0, ta cĩ: 
2 2
20
2 2
21
1 2 1 1 2
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2
1 9 1 16 4
5 5
1 161 11 5184 72
5 5
0 1 2 18 9 9
9 9 18 18 1
, :
, . , :
: ( ) ( ) , ( )
n n n n n n n
n n n n n n n n n n
u
u
Với n ta có
Vậy BT đúng với n Xét n ta có u u u u u u u
Từ đây suy ra u u u u hay u u u u u u
    
      
 
  
 
   
       
     
 
Lần lượt thay n = 2; 3; ...; n vào (1), ta được: 
2 2
2 2 1 0 1 0
2 2
3 3 2 1 2 1
2 2
1 2 1 2
18 18
18 18
18 18n n n n n n
u u u u u u
u u u u u u
u u u u u u   
   

  
   
 
Cộng vế theo vế n - 1 đẳng thức trên, ta thu được: 
2 2 2 2
1 1 1 0 1 0
2
2 2 21
0 1 1 1
18 18 2
9
9 161 2 18 80 1
80
( )
( )
; ( ) : ,
n n n n
n n
n n n n n
u u u u u u u u
u u
Thay u u vào được u u u u hay u
 

 
    

       
 
Do các số hạng của dãy đều nguyên nên : 
2 2
1 1 1
2
2
9 4 5 9 4 5 9 20
1
5
( ) . . ,
: ( )
n n n n n n
n
u u nên u u và vì vậy u u a a
u
Suy ra a đfcm
      


  
 
Cách khác: Dùng pt đặc trưng: 2 18 1 0    của dãy sai phân để viết dãy dưới dạng tường minh: 
   1 11 9 80 9 802
n n
nu
  
    
 
. Từ đĩ suy ra:    
2 1 11 1 9 80 9 80
5 5
n n
nu        
 
 
Tiếp theo, sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta thu được điều cần cm. 
 
Bài T12/386: - THTT tháng 12/2009 tr24 
Cho dãy số ( )nx , n = 1, 2, ... được xác định như sau: 1 2 21 1 1 2( ); ; ln , , ...n n nx a a x x x x n      . 
Đặt 
1
2 1
1
2( ) ln ( )
n
n k
k
S n k x n



   . Tìm lim nn
S
n
 
 
 
 
 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 4 
 Nhận xét rằng: 2 21 1 2 1 0 1; , ,... ln , : limn nx n do suy ra x    
 Tiếp theo, ta chứng minh dãy 2 1( )nx  cũng cĩ giới hạn là 1 
Xét hàm số ( ) lnf x x x  liên tục và đồng biến trong 0( ; ), 11 0 1'( )vì f x với x
x
    
* Trước hết ta chứng minh bằng pp quy nạp, dãy 2 1( )nx  bị chặn dưới bởi 1. Theo giả thiết thì 
1 2 1 2 1 2 3
2 1
1 1 1 1 1
1
. ( ) ( )
( ) .
k k k
n
x a Giả sử x thì f x f nên hiển nhiên x
tức dãy x bị chặn dưới bởi
  

     
 
 
* Tiếp theo ta cm dãy 2 1( )nx  là dãy giảm. Thật vậy, do 
2 1 2 1 2 3 2 1 2 11 0 0ln lnn n n n nx nên x và vì vậy x x x          , tức 2 1( )nx  là dãy giảm. Từ đĩ suy ra 
2 1( )nx  cĩ giới hạn 2 1lim nc x  
Chuyển qua giới hạn dãy sinh bởi hàm ( ) lnf x x x  , ta thu được: c = c - lnc 1c  
Vậy dãy ( )nx cĩ giới hạn là 1 
 Theo định lý Cessaro, ta cĩ: 
1 2 2 1 3 2 1 2 4 2
1 1 3 2 3
1 1
2 2
1 2
1
2
1 11
2 2 2
... ( ... ) ( ... )
lim lim
( ( ) ln ( ) ln ... ln
lim
lim lim
n n n
n n
n
n
n n
n n
x x x x x x x x x
hay
n n
nx n x n x x n
n
S Sa ahay
n n

 


 
            
    
   
       
  
 
    
       
   
 
----------------- Hết năm 2009 ----------- 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 5 
II. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2010 
Bài T11/387: - THTT tháng 01/2010 tr23 
Cho dãy số ( )nu được xác định như sau: 
2
1 1 2
2 5
2 1 1 2
2 1
, ; , , ,...n nn
n n
u u
u u n
u u
 
   
  
 
Tìm 1 2lim( ... )nu u u   
 
Trước hết ta cĩ các nhận xét: 
 
2 2
2 2
2 2 2
2
1 2 2
2
1
2 1 2 1 0 1 2 1 2 1
2 5 3 1 3 11 0 2
2 1 2 1 2 1
1 2 3 1
2 5 2
2 2
2 1 2 1
2 11 1 3
2 2 2
* ( ) ( )
( )* ( )
( )
*
( )
n n n
n
n n n n
n n
n
n n n
u u u u
u u u u u u
u u u u u u
nếu u vì khi đó u
u u u
u
u u u u
u u
u
u u u


           
      
   
        
   
  
   
     
  
   
  
 
Dùng kết quả (3), bằng tính tốn trực tiếp ta cĩ: 62 3 1 2 3 4 5 1 2, , , , ,nu n và u      
Dùng kết quả (2), (3), chứng minh bằng quy nạp theo n = 6, 7, 8, ... ta nhận được: 1 2 6,nu n    
Hệ quả là: 1 2 1 2
*... , . : lim( ... )n nu u u n n Suy ra u u u           
Nhận xét: Kết hợp (2), (3) với (1) ta suy ra: 1 2 3 4 52 1 1 2, u u u u u       
 
2 2 2
2 2 2
2 5 4 4 2 0 0 1 2 2
2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ,
u u u u u u u
vì u nếu u u
u u u u u u
    
       
        
 
6 7 83 1 2( ) : ...Dùng kết quả suy ra u u u     
 
Bài T7/388: - THTT tháng 02/2010 tr21 
Cho a, b là hai số thực thuộc khoảng (0;1) . Dãy số 0 1 2( ), , , ,...nu n  được xác định như sau: 
4 4
0 1 2 1
1 2009 0 1 2
2010 2010
; ; , , , ,...n n nu a u b u u u n       . chứng minh rằng dãy ( )nu cĩ giới hạn 
hữu hạn và tìm giới hạn đĩ. 
 
Xét dãy số (vn) được xác định như sau: 4 40 1
1 2009
2010 2010
min( ; ); ,n n nv a b v v v n     
Vì a, b là hai số thực thuộc khoảng (0;1) nên 
4 4
0 1 1
1 20090 1 0 1 1 0 1
2010 2010
, :n n n n nv và nếu v thì v v v hay v          
Theo nguyên lý quy nạp, ta cĩ: 0 1,nv n    
4 24 4 4
1
1
2010 2009 2009 0: ( ) ( ) ( ) ( )(( )( ) )n n n n n n n n n n n n
n n
Do đó v v v v v v v v v v v v
v v


          
 
 
Như vậy (vn) là dãy tăng, bị chặn trên bởi 1, nên nĩ cĩ giới hạn 
Giả sử 0 1lim nv c với c   
4 4 44
1
1 2009 1 2009
2010 2010 2010 2010
: lim lim ,n n nTa có v v v suy ra c c c
 
    
 
 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 6 
4 24 4 42009 0 2009 0
:
( ) ( ) ( )(( )( ) )
Hệ thức trên có thể biến đổi thành
c c c c c c c c c c         
 
Để ý rằng với 0 1c  , thừa số thứ hai âm, ta được: 1lim nv c  
Trở lại dãy (un) ta cũng cĩ: 
4 4
0 0 1 1 2 1
1 20090 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
2010 2010
, , :n n n n nv và nếu u u và nếu u u thì u u u               
Theo nguyên lt1 quy nạp ta được 0 1,nu n    . Tiếp ptheo ta chứng minh 
2 2 1min( ; ) ( )n n nv u u n  
Thật vậy, theo cách xác định v0, BĐT đúng với n = 0 
Giả sử BĐT đúng với n 2 2 11, : ; :n n n nnghĩa là v u v u thì   
 
4 44 4
2 2 1 2 1
4 44 4
2 3 2 2 2 1 1
4 4
1 2 3 1
1 2 2 2 3
1 2009 1 2009
2010 2010 2010 2010
1 2009 1 2009
2010 2010 2010 2010
1 2009
2010 2010
, :
: min( ; )
n n n n n n
n n n n n
n n n n n n
n n n
u u u v v v
u u u v v
Mà v v suy ra u v v v
Ta được v u u
  
   
  
  
    
    
   

 
Theo nguyên lý quy nạp ta cĩ: 2 2 1min( ; ),n n nv u u n   
2 2 11 1 1
1
; lim
( ) lim
n n n n n
n n
Như vậy v u v u và v
Do đó dãy u có giới hạn và u
    

 
 
Nhận xét: Theo đầu bài, (un) bị chặn nhưng khơng đơn điệu. Để cm nĩ cĩ giới hạn, ta đã sử dụng 
nguyên lý kẹp: limn n n nNếu a u v và v a thì u a    . Đây là 1 kỹ thuật thường dùng để xét giới 
hạn của một dãy. 
 
Bài T11/389: - THTT tháng 03/2010 tr23 
Cho dãy số dương ( )nu . Đặt 
3 3 3 3
1 1 1 1 1 2... , , ...nS u u u u n      
1 1
1
11 2 3: (( ) ) , , ,...n n n n
n
Giả sử u S u u n
S 

     Tìm lim nu 
 
Từ giả thiết ta cĩ ngay: 31 0 2 3, , ,...n n nS S u n     ta thu được Sn là một dãy tăng. 
Vậy nên, nếu dãy Sn bị chặn trên thì Sn là một dãy hội tụ và 3 1 0lim ( )n n nu lin S S    
Xét trường hợp dãy ( nS ) khơng bị chặn trên thì lim nS   
1 1 1 2 3: , , ,...n n n n n nTừ giả thiết ta có S u u S u u n      
Từ đây, ta thu được: 1 2 2 1 2 3, , ...n n nS u u S u u n    
Do đĩ: 1 2 2 1 2 2 10 2 3 0: , , ,... limnn n n
n n n
u S u u S u u
u suy ra u n kéo theo u
S S S
        
Vậy trong mọi trường hợp ta luơn cĩ: 0lim nu  
 
Bài T11/390: - THTT tháng 04/2010 tr24 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 7 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1], cĩ dạo hàm trên (0;1) và thỏa mãn điều kiệnf(0) = 0; 
f(1) = 1. CMR với 2 số thực k1, k2 bất kì, luơn tồn tại các số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho: 
1 2
1 2/ /( ) ( )
k k
k k
f a f b
   
 
Ta sẽ chứng minh kết quả mạnh hơn: Với các số thực dương k1, k2 , ..., kn bất kì, luơn tồn tại các số 
1 2
1 1
0 1 1
/
... ( )
( )
n n
i
n i
i ii
k
a a a sao cho k
f a 
       
Thật vậy, đặt 11 2
1
1 2 0 1, , ,..., . ...
m
n n
m i
i n n n n
S SS S
S k m n Ta có
S S S S


        
Do đĩ theo một tính chất quen thuộc của hàm số liên tục (Định lí Bolzano - Cauchy): Tồn tại các số 
1 2 10 1 1 2 1... ( ) , , ,...,
i
n i
n
S
c c c thỏa mãn f c mọi i n
S
        
Theo định lý Lagrange tồn tại các số: 
 
1 2 1 0
1 1 1
1 1
1 1 1
0 1 1 0 1
0
1 1
1 2 2
/
/
/
... , ( ; ), ,..., ( ; )
( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( ).( )
( ) ( ) ( ).( ), , ,...,
n i i i n
n n n
i i i n i
a a a a c c i n xem c c sao cho
f c f f a c
f f c f a c
f c f c f a c c i n

 
  
        
 
  
     
 
11
1 1 1 1 1
2
1 2 1 1 1
1 1
1 1 2 2
0 1 1
/ / /
/ / /
/
( ) ; ( )( ); ( )( ), , ,...,
: ( ). ( )... ( ) ( ) ( )
. ( )
n i
n n i i i
n n n
n n
i
n n i i
i i n i
k kk
Bởi vậy f a c f a c f a c c i n
S S S
k
Suy ra f a f a f a và c c c c
S f a

  

 
 
       
       
 
Từ kết quả trên, ta cĩ (1). 
 
Bài T11/391: - THTT tháng 05/2010 tr23 
Cho dãy số ( )nx , n = 0,1,2 ... được xác định bởi: 0 1
11 0 1
1
, , ,...n
n
x và x n và
x
    
 
là số cho trước lớn hơn 1. Tìm lim nx 
 
Nhận xét rằng với 0 1 0 1 1 2, , ,... :n nx thì x và do vậy x n Xét hàm số     
1
2
11
1
1 10 1
812 1 1
1
/ /
( ) ( ). :
( ) ( ) ,
( )
n nf x suy ra x f x ta cóx
f x và f x với x
x
x
  

   
 

 
Vì f(1) > 1 và f(2) < 2 nên phương trình f(x) = x cĩ nghiệm duy nhất trong khoảng (1;2). Gọi nghiệm 
đĩ là L. Theo định lý Lagrange thì với mọi 1L x  tồn tại c > 1 sao cho: 
/( ) ( ) ( ).f x f L f c
x L



 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 8 
1
1 0
1
8
1
8
1 1
8 8
: ( ) ( )
( ) ( )
...
lim
n n
n
n n
n
Suy ra f x f L x L
và f x f L x L
hay x L x L x L
Từ đây suy ra x L


  
  
 
      
 

 
Vậy ta cần xác định L. Giải phương trình : 31 1 1 251 2
1 3 3 27
( ) ( ) ( )f x x x x x
x
        

 
Ta thu được một nghiệm trong (1;2) là 43 177 43 177 1
54 18 54 18 3
L      
Vậy: 43 177 43 177 1
54 18 54 18 3
lim .nx      
 
Bài T8/392: - THTT tháng 06/2010 tr22 
Cho dãy số ( )nx , n = 1,2 ... được xác định bởi: 
2
1 15 2 1,n nx và x x n     . Tìm: 
a/ 1
1 2
lim
...
n
n
n
x
x x x


 b/ 
1 1 2 1 2
1 1 1lim ...
...n nx x x x x x
 
    
 
 
 
1/ Chọn a là nghiệm lớn của phương trình : 2 5 215 1 0 1
2
x x a

      
1
1
2
2 2 2
1 2 1 2
2 2 2
12 2
1 1 15 1 0 5 2 2
1 12
,
k k
k kk k k
Ta có a a x a khi đó x x a a
a a a
Giả sử x a thế thì x x a
a a

 
 
              
 
     
 
Theo nguyên lý quy nạp ta cĩ: 
1
1
2
2
1 , .
n
nnx a n nguyên dươnga

   
1
1
1
1
2 2 2
2 2 2
2
1 2 2
1
21 2
1 2 22
2
1
1 2
1 1 1
1 1 1 11
1
11 1 1
11
:
: .
...
...
: lim lim
...
k k k
k k k
n
n n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
Lưu ý a a a
a a a
a x a a
x a a a ata có a
x x x a
a x x x a
a aa
x aDo đó
x x x








  
     
  
    
                          
   


1
12
1 1 21
11
.
n
a a
a a
a

 
    
 
 
2/ Với 
2
1 1
1 2 1 2 1 2 1 1 2
1 1
2 2
* , :
... . ... ... ...
k k k k
k k k k
x x x x
k ta có
x x x x x x x x x x x x
 

 
     
 
 
Thay k lần lượt bằng 1; 2; ...; n và rút gọn, ta được: 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 9 
1
1
1 1 2 1 2 1 2
1
1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
2
1 1 1 5 1 5 21
2 2 2
...
... ...
: lim ... lim
... ...
n
k n
n
k n
x
x
x x x x x x x x x
x
Do đó
x x x x x x x x x


 
      
 
    
           
   
 
* Chú ý: cĩ thể giải phần 1 của btốn theo cách sau: 
Chứng minh dãy ( )nx tăng và 
2 2
1 1
2
1 2 1 21 2
421 21lim ; lim
... ...( ... )
n n
n
n nn
x x
x
x x x x x xx x x
 
   
           
   
 
Bài T11/393: - THTT tháng 07/2010 tr24 
 Cho dãy số ( )nx , n = 1,2 ... được xác định bởi: 
21 1ln( ) ,n nx nx n
     . Tìm: 1( )lim n
n
n
n nx
x

 
 
Với mỗi *n ta đặt 21 1( ) ln( ) ,nf x x nx x     
Ta cĩ: 
2
2 2
2 1 1 0 0 1 1
1 1
/ /( )( ) ; ( ) ;n n
x x
f x n n f x n x
x x

          
 
 
Do đĩ ( )nf x là hàm số tăng thực sự. Chu 1y : 2
1 10 1 0 1 0( ) ; ( ) ln( )n nf f n n
      suy ra cĩ duy nhất 
1 số 10 0( ) . :n n n nx thỏa f x và x Bởi vậyn
    
 
2
12
21 1 1 1
( ) ln( )
lim lim lim . .ln( ) nxn n n nn n n
n n
n nx n x
n x x
x x  
       
 
 
 
2
1
2 2
0
2
1 1 1 1 1 0
1
lim ln( ) ln( ) ( )
( )
: )
x
n n nx
n
n n
Do x và nx x khi n vì x khi n
n nx nChú ý n khi n
x x

 
           
 
 

     
 
 
Bài T10/396: - THTT tháng 10/2010 tr24 
Cho dãy số ( )nu , n = 0, 1,2 ... được xác định bởi: 
0
1
0
2008
0 1 2
2010
, , , ...nn
n
u
u
u n
u
 


   
 
a/ Chứng minh rằng dãy (un) cĩ giới hạn hữu hạn và tìm: lim nn u 
b/ 
0
1
2008 2009
. lim
n
n
n
k k
T
Đặt T Tính
u n

  
 
a/ Trước hết ta chứng minh 1,nu n   bằng phương pháp quy nạp. Ta cĩ: 0 0 1u   
Giả sử: 1 1
2008 2 1
1 1 1 0 1
2010 2010
( )
, k kk k k
k k
u u
u k thì u u
u u 
 
         
   
 
Theo nguyên lý quy nạp tốn học ta cĩ: 1,nu n   (1) 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 10 
* Do 1 1
1 2008
1 0 2
2010
( )( )
, : ( )n nn n n n n
n
u u
u nên u u u u
u 
 
     
 
 
Từ (1) và (2) suy ra dãy số (un) là dãy tăng và bị chặn trên, nên nĩ cĩ giới hạn hữu hạn 
Giả sử: 22008 2009 2008 0 1 2008
2010
lim n
Lu L thì L L L L hoặc L
L

        
 
 
1 1 1. limn nDo u nên L Vậy u   
1 1
1 1
1
1 1 1 0
2008 2009 2008
2008 2008
2010 2010
1 2 1
2008 2009 2008 2009
1 2 1 2 1
2008 2009 2008 2009 2007 2008 2007 2007 2008
*
( )
/ :
( )
( )
:
( ) ( )
lim
k k
k
k k
k k
n n
n
k kk k n
n
u u
b Ta có u
u u
nên k
u u
n n
Suy ra T
u u u u
Do u
 
 

  
 
   
   
  
 

     
    

0
0
0
21 0
2009 2007 2008 2009 2007 2009
1 1
2007 2008 2009 2007
; : lim lim lim
( )( ) ( )
lim
( )( )
n
n
T nu nên
n u n u
u n

    
   
  
 
 
Chú ý: 
2 1 21 1 1
2009 2008 2009
/ : :
n n
nDùng CT truy hồi u
      
                 
 cũng tìm ra kết quả. 
2/ Dùng Đl Stolz bằng cách xét dãy 2009( ) . ( ) limn n n nv với v n Dãy v tăng và v nên    
 1
1 1
1 1
2008 2007
lim lim lim ...n n n
n n n n
T T T
v v v u

 

   
 
 (tuy nhiên phải cm đl này khi dùng) 
 
Bài T12/397: - THTT tháng 11/2010 tr24 
Cho dãy số ( )nx , n = 1,2 ... được xác định bởi: 
2
1 1
2 8 4
2 1
2
, , n n nn
x x x
x x 
   
  . Với mỗi 
số nguyên dương n, đặt 
2
1 1
1
4
. lim
n
n n
i i
y Tìm y
x 


 . 
 
Nhận xét: Với số thực a > 2 bất kì, ta cĩ: 
 
2 2
1 2 3
2 8 4 2 4 4 2 2
2 2 2
2 1 1: , ... ( )
a a a a a a a a a
Do đó x x x
          
  
   
 
Mặt khác từ CT truy hồi của dãy (xn) ở giả thiết, ta cĩ: 
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1
1 1
2 2 2
2 11 1 1
2
2 11
2 2 8 4 4 4 4 8 4 8 4
4 3 2 6 4 3 2
3 2 11 1 1
24 4 4
1 1 1 1 2
24
( )
( )( )
( ) ( )
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n
n nn n n
n nn
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x xx x x
n
x xx
   
    
 
   
 
             
          
  
    
  
    

 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 11 
Từ (1) và (2) ta thấy tồn tại limxn và 
2
2 11
2
1 1 1 1 1 11
1 1 1 0
24
1 1 1 1 1 110
2 2 2 2 24
10
lim lim lim lim
:
lim
n
n nn
n n
n
i i i i n ni
n
suy ra x
x xx
Bởi vậy y
x x x x xx
Vậy y
 
    
    

 
              

  
Nhận xét: Để rút ra lim nx   ta cĩ thể làm theo cách: phương trình giới hạn 
2
22 8 4 4 3 2
2
( )( )
x x x
x x x x
   
      khơng cĩ nghiệm hữu hạn x > 2. 
 
Bài T11/398: - THTT tháng 12/2010 tr23 
Cho dãy số thực ( )nx , n = 1,2 ... được xác định bởi: 
3 2
1 1 2 5 4 1, ,n n n nx a x x x x n      . Tìm 
tất cả các giá trị của a để dãy số ( )nx cĩ giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn của dãy trong các TH đĩ. 
 
Xét hàm số 3 22 5 4( )f t t t t   . Khi đĩ dãy đã cho cĩ dạng 1
*( ),n nx f x n    . Ta cĩ: 
2 26 10 4 6 1 1 2 3
3
2 30 1 0
3 2
/ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) , , ( ) ; ( )
f x x x x x và f x x x x x
Từ đó f x x x x x và khi x thì f x x khi x thì f x x
         
        
 
Bằng cách lập BBT của hàm số f(x) ta cĩ khi: 3 30 0
2 2
( )x thì f x    
Từ các nhận xét trên ta thu được: 
(i) với 0( ; )x  luơn luơn cĩ 0( ) ( ; )f x   
(ii) với 30
2
( ; )x luơn luơn cĩ 30
2
( ) ( ; )f x  
(iii) với 3
2
( ; )x  luơn luơn cĩ 3
2
( ) ( ; )f x   
Ta xét các TH cụ thể của a 
TH1: a < 0. Theo (i) thì mọi 10 1 2 3 0( )( )n n n n n nx và x x x x x      . Do đĩ ( )nx là dãy giảm nên 
cĩ giới hạn lim .nx b Khi đĩ 
30 1
2
; ;b và b a
 
  
 
 , mâu thuẩn vì a < 0. Suy ra dãy ( )nx khơng cĩ 
giới hạn hữu hạn ứng với a < 0. 
TH2: a = 0. Khi đĩ ( )nx là dãy hằng và 0lim .nx  
TH3: a 3
2
 . Theo (ii) thì mọi 1
3 0
2
( ; )n n nx và x x    . Do đĩ ( )nx là dãy tăng 
 nên nếu cĩ giới hạn lim nx b thì 
30 1
2
; ;b và b a
 
  
 
 , vơ lý. Suy ra dãy ( )nx khơng cĩ giới hạn 
hữu hạn ứng với a 3
2
 . 
TH4: a = 3
2
. Khi đĩ ( )nx là dãy hằng và 
3
2
lim .nx  
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 12 
TH5: a 30
2
a  . Theo (ii) thì mọi 
2
1
3 30 1 1 2 1 1 0 1 2 1 1
2 2
( ; ) ( ) ( ( ; ) ( )( ) )n n n n n n n nx và x x x x do x nên x x           
Bằng pp quy nạp, từ 1 11 1 1 1
*: ,n n nx x ta thu được x a n         
3 10 1
2 2
.Do a nên a    Suy ra dãy ( )nx cĩ giới hạn hữu hạn là 1 
Kết luận: Dãy ( )nx cĩ giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi 
30
2
[ ; ]a 
 
0 0
0 1 1
3 31
2 2
lim
lim
lim
n
n
n
Khi a thì x
Khi a thì x
Khi a thì x
 
  
  
 
Nhận xét: Bài này tương tự HSG QG 2005: 3 21 1 3 7 5 1, ,n n n nx a x x x x n      
 
 
----------------- Hết năm 2010 ----------- 
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào  Trang: 13 
III. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2011 
Bài T10/399: - THTT tháng 01/2011 tr23 
Cho dãy số ( )na được xác định như sau: 0 110 6 16 96 0 1 2;( )( ) , , , ,...n na a a n      
Hãy tính tổng: 
0 1 2 2010
1 1 1 1...S
a a a a
     
 
1 1
1 1 1
1
0
0
6 16 96 6 16
6 1 3 1 1 1 3 1 1 1 10 0 1
16 8 16 8 10 10
1 1 80 1
10 3
81
3
: ( )( ) ( )
( , , ,..., ) ( )
( , ,..., ) ( )
:
n n n n n
n
i
n n n n n n
i i
i
n
n
i
i
Ta có a a a a a
a
a i n
a a a a a a
Đặt x i n thì x lập CSN với công bội
a
x
Vậy A x
 
  


     

           
  
  
  
  
0
1
0
2011 2011
0 0
1 1 1
8 10 101
3
81
31 1
810 101
3
1 3 8 2011 3 8 1110 2010 1 201
5 25 3 10 25 3 50
. :
:
. :
n
i i
n
n
Mặt khác A S
a
x
n nDo đó S A
Với a thì x Thay n ta được S



 
          
 
            

    
                

 
Bài T9/