Bài tập Toán - Ôn thi tốt nghiệp tích phân

ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 1
Tích phân
Kiến thức cơ bản
 1. Công thức Niutơn - Laipnit: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn  ba; . Ta có:
).()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a 
Chú ý: Tích phân b
a
dxxf )( chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số
tích phân. Vì vậy ta có thể viết:
 F(b) – F(a) =    b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf ...)()()(( .
 2. Các tính chất của tích phân
 Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba điểm của khoảng K. Ta có:
 * Tính chất 1: .0)( a
a
dxxf
 * Tính chất 2: ..)()(   a
b
b
a
dxxfdxxf
 * Tính chất 3: ..,)()(   b
a
b
a
Rkdxxfkdxxkf
 * Tính chất 4:   .)()()()(    b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
 * Tính chất 5:    c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf .)()()(
 * Tính chất 6: Nếu f(x)   bax ;,0  b
a
dxxf .0)(
 * Tính chất 8: Nếu     b
a
b
a
dxxgdxxfbaxxgxf .)()(;),()(
 * Tính chất 9: Nếu     b
a
abMdxxfabmbaxMxfm ).()()(;,)(
Bài toán 1. Tích phân của hàm số đa thức và hữu tỷ
I. Kiến thức áp dụng
 1. Công thức 1: )1(,.
1
1




 Cxdxx
2. Công thức 2: ;.ln1  Cxdxx
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tính tích phân sau
.
1
53))54()
3
1
2
1
0
3
1 dx
x
xIbdxxxIa  
 Bài giải
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 2
 a) I1 = 102
4
52
4 


  xxx =
4
13 ;
 b) I2 =   .2ln26)1ln(23)1
23( 31
3
1
 xxdxx
Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I =  
4
3
2 .4x
dx
Bài giải
 Ta có: I =
.3
5ln
4
1
2
2ln
4
1)
2
1
2
1(
4
1 4
3
4
1

 xxdxxx .
Ví dụ 3. Tính tích phân sau:
;)1)(13(
1)
76
)
2
1
22
23
2
2 dxxxxx
xJb
xx
dxIa   
 Bài giải
 a) I =
.4
9ln
7
1
7
1ln
8
1)
7
1
1
1(
8
1 3
2
3
2

 xxdxxx ;
 b) J = 


 dx
x
x
x
x
x
2
1
2
)11)(31(
11
)5ln
2
7(ln
2
1)31ln()11ln(
2
1
)11)(31(
)
1(
2
1
2
1


 


 xxxx
x
x
x
x
x
xd
Ví dụ 4. ĐHSP.TPHCM-2000:Tính tích phân sau: I =   
1
0
2 .65
114 dx
xx
x ;
Bài giải
 Cách 1: I =   .
2
3ln3
3
4ln.)2ln(3)3ln(...)
3
1
2
1(3
3
4
)3)(2(
3)2(4 1
0
1
0
1
0




  xxdxxxxdxxx x
 Cách 2: (Phương pháp hệ số bất định)
Đặt: .3;2,
32ã65
114
2 

x
x
b
x
a
xx
x

65
23)(
)3)(2(
)2()3(
65
114
22 



xx
baxba
xx
xbxa
xx
x









1
3
1123
4
b
a
ba
ba ;
 Khi đó: I =  
2
3ln3
3
4ln)3ln()2ln(3)
3
1
2
3(
1
0
1
0  xxdxxx .
Ví dụ 5. ĐHYHN-2000. Tính tích phân sau: I =  
2
1
2
2
.
127
dx
xx
x ;
Bài giải
 Cách 1. Phân tích:
 I = dx
xxx
dx
xx
xxx   
 2
1
2
1
2
)
3
1
4
1(9
4
71)4)(3(
9)3(7127
 =  
2
1ln9
3
2ln1613ln94ln16 21  xxx .
 Cách 2. (Phương pháp hệ số bất định)
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 3
 Đặt:



 16
9
...
43ã
1
1272
2
b
a
x
b
x
a
xx
x
(Bạn đọc tự làm)
 Ví dụ 6. ĐHNT-2000. Tính tích phân sau:
a) .
92
103)
1
23 1
0
2
22
0
2
2
dx
xx
xxJbdx
xx
xxI    
 Bài giải
 a) I =    
2
0
2
0
2
2 7ln2)1ln()1
121( xxxdx
xx
x .
 b) J =
3
4ln
2
11)92ln(
2
1)
92
11( 10
1
0
2
2 

 
 xxxdxxx x .
Ví dụ 7.ĐHNT-1999. Tính tích phân sau: I =  
1
0
22 .)23( xx
dx .
Bài giải
 I =   



1
0
1
0
22
2
)2)(1(
2
)2(
1
)1(
1)
2
1
1
1( dx
xxxx
dx
xx
 =
3
4ln2
3
2
3
4ln2
3
1
2
1
2
11
2
1ln2
2
1
1
1 1
0 






x
x
xx
.
Ví dụ 8. ĐHTN – 2001. Tính tích phân sau: I =   
51
1
24
2
1
1 dx
xx
x
Bài giải
 Ta có: I = 


 51
1
2
2
2
11
11
dx
x
x
x
...
11
11
ln
2
1
...
1)1(
)1(
1)1(
11
51
1
51
1 2
51
1 2
2 









 
x
x
x
x
x
x
x
xd
dx
x
x
x
 III. Bài tập áp dụng
1) ;
23
B;)1(
.
0
1
2
3
2
9
2 
 
 xx
dx
x
dxxA
2) ;)1(B;1
.22( 4
2
10
32
1
3
2   x dxxx dxxxA
;)1()3(D
;
65
).116102(
1
0
22
1
1
2
23






xx
dx
xx
dxxxxC
3) ;
23
)47(B;
65
).63( 0
1
3
1
1
23
23 
 


xx
dxx
xxx
dxxxxA
4) ;
34
B;
2
2
1
24
2
1
23   xx dxxxx dxA
5) ;)4(
.B;).14(
1
0
28
32
1
34
23    x dxxxx dxxxxA
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 4
6) ;)1.(
).1(B;)1(
3
1
4
42
1
26   xx dxxxx dxA
7) (CĐSP HN 2000):   
3
0
2
2
.
1
23 dx
x
xI
8) (ĐHNL TPHCM 1995)  
1
0
2 65xx
dxI
9) (ĐHKT TPHCM 1994)  
1
0
3 .)21( dxx
xI
10) (ĐHNT HN 2000)   
1
0
2
23
92
).1102(
xx
dxxxxI
11) (ĐHSP TPHCM 2000)  
1
0
2 65
).114(
xx
dxxI
12) (ĐHXD HN 2000)  
1
0
3 1
.3
x
dxI
13) (ĐH MĐC 1995 )  
1
0
24 34xx
dxI
14) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số A,B,C để
21)1(23
333
23
2


x
C
x
B
x
A
xx
xx Tính
dx
xx
xxI .
23
333
3
2  
15) (ĐHTM 1995)  
1
0
2
5
1
.
x
dxxI
16) (ĐH Thái Nguyên 1997) x
x
dxxI 
  x1 t:HD1).1(
2
1
4
2
17)Xác định các hằng số A,B để
1)1()1(
2
22 

x
B
x
A
x
x Tính dx
x
xI .)1(
)2(3
2
2 
18 )   
1
0
22
24
3
36
5
;)1)(2(
1322B;
2
3
3
dx
xx
xx
xx
dxxA
Bài toán 2. Phương pháp đổi biến số
Dạng 1. Đặt x = u(t)
 * x = sint, t 


2
;
2

 * x = tant, t 


2
;
2

ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 5
Ví dụ 1. Tính tích phân : I =  3
0
2 ;9 dxx
Bài giải
 Đặt x = 3sint, t 


2
;
2

 * x = 0  t = 0
 * x = 3  t =
2

 dxxxdxxdxxdxx )2cos1(
2
9
cos9cos3.)sin1(99 222 
 I =  2
0
)2cos1(
2
9

dxx = 20)2sin2
1(
2
9 
xx  =
4
9 .
Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I =  4
2
24 dxxx
Bài giải
I =   4
2
2
4
2
2 ;)2(4)44(4 dxxdxxx
Đặt x -2 = 2sint, t 


2
;
2

* x = 0  t = 0
 * x = 3  t =
2

 dtttdttdtxdxx )2cos1(cos2cos2.)sin1(4)2(4 222 
 I =   
0
...)2cos1( dtt .
 Tổng quát 1 :   .0,4
2
22 a
adxxa  Phương pháp : Đặt x = asint.
Ví dụ 3. ĐHSP1-2000. Tính tích phân : I =  a dxxax
0
222 ; với a > 0.
 Bài giải
Đặt x = asint. t 


2
;
2

 * x = 0  t = 0
 * x = a  t =
2

 x2 dttatdtatdxtatdxatatadxxa )4cos1(
8
2sin
4
cossincos.)sin1(.sin
4
2
4
224222222 
 I =  2
0
44
.
16
)4cos1(
8

adtta
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 6
Ví dụ 4. Tính tích phân : I =  
5
0
25
1 dx
x
Bài giải
 Đặt x = 5 tant, 


2
;
2

t
 * x = 0  t = 0
 * x = 5  t =
4


4
55
tan1
)tan1(5
5
1 4
0
4
0
2
25
0
2

 

   dtdtt tdxx
 Tổng quát 2 :  
a
a
adx
ax0
22 .0,4
1  Phương pháp : Đặt x = atant.
Ví dụ 5. Tính tích phân sau
;
1
:2000)
1
)
2
1
0
24
1
0
2   xx xdxJHVTCbxx dxIa
Bài giải
 a) I =  
1
0 2
4
3)
2
1(x
dx
 Đặt x+ .tan
2
3
2
1
t 


2
;
2

t
 * x = 0  t =
6

 * x = 1  t =
3

 I =   



3
6
3
6
2
2
1
0 2 12
3
2
3
tan1
)tan1(
2
3
4
3)
2
1(




dtdt
t
t
x
dx .
b)Đặt x2 + ttan3
2
1  (Làm tương tự).
Ví dụ 6. Tính tích phân sau : I =  
2
1
0
41 x
dxx
Bài giải
 Đặt x2 = sint, t 


2
;
2
 * x = 0  t = 0
 * x =
62
1  t
 xdx =
2
1 cosxdx ;
xxx cos
1
sin1
1
1
1
24



 
dx
x
xdx
2
1
1 4


ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 7
 I =  6
0 122
1

dx
Ví dụ 7. HVKTQS – 2001. Tính tích phân sau: I = .0,;)(0 22
2

 badxxa xa
b
Hướng dẫn : Đặt x = ta tan
 dt
a
tdt
t
a
ta
tadx
xa
xa 2cos
....
cos
1
..)tan1(
)tan1(
)( 2222
2
22
2



 I = ..... = 2ba
b
 .
Dạng 2. Đặt t = u(x).
Ví dụ 1. Tính tích phân sau :
  1
0
35
1
0
6
.1:2001.))1)(23() dxxxJTPHCMDHLbdxxxIa
Bài giải
 a) Đặt t = x+1 * x=0 , t = 1 và x = 1, t = 2.
 x = t – 1 dx = dt
 I =  2
1
2
1
78
6 )
78
3()13( ttdttt
 b) Đặt t = 31 x * x = 0  t = 1
 * x = 1  t = 0
 x3 = 1 – t2
 x2 dx =
3
2tdt  dtttdttttdxxx )(
3
2
3
2
.).1(1 53
2
235 
 I =  1
0
1
0
54
53 )
54
(
3
2)(
3
2 ttdttt =
30
1
Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I =  
9
1 1 x
dx
Bài giải
 Đặt t = x1 * x = 1  t = 2
 * x = 9  t = 4
 Khi đó x = t2 -2t + 1  dx = (2t -2)dt  dt
t
t
x
dx 22
1

 I =  4
2
4
2 .2ln24)ln22()
22( ttdt
t
Ví dụ 3. ĐHK.A-2004. Tính tích phân sau: I =  
2
1 11 x
xdx
 Bài giải
 Đặt t = 11  x * x = 1  t = 1
* x = 2  t = 2
 x = t2 – 2t + 2  dx = (2t-2)dt
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 8
 I =
2ln4
3
11)ln483
3
2()4862(4862)22)(22( 212
32
1
2
1
2
232
1
2
   ttttdttttdtt tttdtt ttt .
Ví dụ 4. Tính tích phân sau
 a)ĐHK.A-2003 : I =  
22
3
2
4
7
2
32
5
2 1
)
9
:1999)
4 xx
dxKc
xx
dxJDHANb
xx
dx
 Bài giải
 a) Đặt t = 42 x * x = 5  t = 3
 * x= 32  t = 4
 x2 = t2 -4  xdx = tdt  dt
tttt
tdt
xx
xdx )
2
1
2
1(
4
1
).4(4 222 

 I =
3
5ln
4
1
2
2ln
4
1)
2
1
2
1(
4
1 4
3
4
3

 ttdttt
 b) + c) Làm tương tự.
Ví dụ 5. Tính tích phân sau : I =  
2ln
0 7xe
dx
Bài giải
Đặt t = 7xe * x = 0  t = 2 2
 * x = ln2  t = 3
 ex = t2 – 7  exdx = 2tdt  dt
tttt
tdt
ee
dxe
e
dx
xx
x
x
)
7
1
7
1(
7
1
).7(
2
77 2 



 I = )
722
722ln
73
73(ln
7
1
7
7ln
7
1)
7
1
7
1(
7
1 3
22
3
22 


 t
tdt
tt
.
Ví dụ 6. ĐHK.B-2006. Tính tích phân sau : I =   
5ln
3ln 32
xx ee
dx
Bài giải
Đặt t = ex * x = ln3  t = 3
 * x = ln4  t = 4
dt = exdx  dt
tttt
dtdxe
ee
dx
xx ee
x
xx
)
1
1
2
1(
2332 2232  
 I =  
4
3
4
3 3
4ln
1
2ln)
1
1
2
1(
t
tdt
tt
Ví dụ 7. Tính tích phân sau :
a) ĐHTM-97 : I =  
2ln
0 1
1 dx
e
e
x
x
 b) HVQY – 97 : I =  
3ln
0 1
1 dx
e x
 c) ĐHBK – 2000 : I =  
2ln
0
2
1
dx
e
e
x
x
Hướng dẫn
Đặt t = ex, làm tương tự như VD5, VD6.
Ví dụ 8. ĐHHH – 98. Tính tích phân : I = dx
xx
x
e 1 ln1.
ln
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 9
Bài giải
Đặt t = xln1 * x = 1  t = 1
 * x = e  t = 2
 lnx = t2 – 1  tdt
x
dx 2  dtttdt
t
tdx
xx
x )22(2.1
ln1.
ln 22 
 I =
3
224)2
3
2()22(
2
1
2
1
3
2  ttdtt .
Ví dụ 9. Tính tích phân sau:
 a) ĐH.K.B – 2004.: I = dx
x
xx
e 
1 .
ln.ln31 b) HV CTQG.TPHCM – 1999: J = dx
x
xx
e 
1
3 2
.
ln2.ln ;
Bài giải
 a) Đặt t = xln31 * x = 1  t = 1
 * t = e  t = 2
 lnx = dttttdtttdx
x
xxtdt
x
dxt )(
9
2
3
2
.
3
1
.
ln.ln31
3
2
3
1 2422 
 I =  2
1
2
1
35
24
135
116)
3
7
5
31(
9
2)
35
(
9
2)(
9
2 ttdttt ;
 b) Làm tương tự.
Bài tập áp dụng
1)   a adxxaxdxxxA 2
0
2
1
0
815 )0(.2.B;.31.
2)  
4
10
222 )0(
)1(
B;.. a
xx
dxdxxaxA
a
3)   
2
1
0
1
2 )2)(1(
B;
1 xx
dx
xx
dxA
4) 
 

0
1
1
2
1
2
2
24
B;.1
xx
dx
x
dxxA
5)  
22
0
2
2
1
2
.1B;
1.
dxxx
xx
dxA
6)  
2
7
0
3
1
0
4 3 12
B;
1 x
dx
x
dxxA
7)  



3
0
2
3
8 112
)21((*)B;
1 xxx
dxx
xx
dxA
8) ;
11
1(*)
0
1
3
 

x
dx
x
xA
9) 


0
1
2
1
0
2
.22B;4 dxxxdxxA
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 10
  1
2
1
2
22
1
2
.
1D;1 dx
x
xdx
x
xC
10) (HVNH THCM 2000)  
1
0
2
3
1
.
xx
dxxI
11) a)(ĐH BKHN 1995)  
2
3
2
2 1. xx
dxI
b) .(HVKTQS 1998) 
 

1
1
2 11 xx
dxI
12) (ĐHAN 1999)  
4
7
2 9. xx
dxI
13) (ĐHQG HN 1998)   1
0
23
.1. dxxxI
14) (ĐHSP2 HN 2000)  
2
1
3 1. xx
dxI
15) (ĐHXD HN 1996)  

1
0
2
1
).1(
x
dxxI
16) (ĐHTM 1997)  
7
0
3 2
3
1
.
x
dxxI
17) (ĐHQG TPHCM 1998)  
1
0 12
.
x
dxxI
Bài toán 3. Phương pháp tích phân từng phần.
I. Công thức tích phân từng phần
 Ta có:  b
a
b
a
b
a vduuvudv .
II. Phương pháp giải toán
Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = b
a
dxxf .)(
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I = b
a
dxxf .)( = b
a
dxxfxf .)().( 21
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 11
Bước 2: Đặt: 





v
du
dxxfdv
xfu
)(
)(
2
1
Bước 3: Khi đó: I =  b
a
b
a
b
a vduuvudv .
Ví dụ 1. ĐHK.D – 2006: Tính tích phân sau: I =  1
0
2
.)2( dxex x
Bài giải
 Đặt:










dxev
dxdu
dxedv
xu
xx 22
2
1
2  I =
2
35
...
4
1)2(
2
1
.
2
1`)2(
2
1 21
0
22
1
0
21
0
2 eeedxeex xxx   .
Ví dụ 2. Tính tích phân sau:
   1
0
1
0
222 )124(:20043))12(:99) dxexxJCDGTbdxexxIDHHHa xx .
 Hướng dẫn: Từng phần 2 lần.
Ví dụ 3. TN.THPT-2008: Tính tích phân sau:   2
0
.cos)12(

xdxxI
Bài giải
 Đặt:








xv
dxdu
xdxdv
xu
sin
2
cos
12  I = .... = ((2x-1)sinx + 2cosx) 20

= 3 .
Ví dụ 4. ĐH KT – 2001. Tính tích phân sau: I = dxx
3)
2
(
0
3sin

.
Bài giải
 Đặt t = 3 x * x = 0  t = 0
 * x =
2
)
2
( 3   t
 x = t3  dx = 3t2dt   2
0
2
..sin3

dxttI
Bạn đọc tự giải( Từng phần 2 lần).
Ví dụ 5. ĐHK.D-2004. Tính tích phân sau : I =  3
2
2 )ln( dxxx .
 Bài giải
 Đặt:










xv
dx
xx
xdu
dxdv
xxu 2
2 12)ln(
 I = xln(x2-x) 32
3
2
3
2 ))1ln(2(2ln26ln31
12 
 xxdxxx
 = ln216 - ln4 – 2 – ln2 = ln27 – 2.
Ví dụ 6. Tính tích phân :
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 12
 a)ĐH K.D – 2007: I = .ln 2
1
3 xdxx
e b) ĐHL.TPMCM : J = .lg 210
1
xdxx
Bài giải
a) Đặt :






 

4
ln2
ln
43
2
x
v
dx
x
xdu
dxxdv
xu
 I = 1
4
1
3
1
24
42
ln
4
ln Iedxxxxx
e
e  
Đặt :











8
1
2
1
ln
4
1
1
3
1
1
x
v
dx
x
du
dxxdv
xu
 I1 = 32
1
8
...
88
ln 44
1
3
1
4  eedxxxx ee  I = 32 15
4 e
.
 b) Làm tương tự.
Ví dụ 6. Tính tích phân sau :
 a) I =  2
0
2
0
;cos)sin
 
xdxeJbxdxe xx
Hướng dẫn
 a) Từng phần 2 lần, đặt : ;
cos
;
sin 1
1








xdxdv
eu
xdxdv
eu
xx
 b) Làm tương tự.
Ví dụ 7. CĐSP.Tây Ninh – 2003. Tính tích phân sau :
  ee dxxJbdxxIa
11
.)sin(ln);)cos(ln)

;
 Hướng dẫn
 Đặt : t = lnx và từng phần 2 lần.
Bài tập áp dụng
 Tính các tích phân sau:
1/. I = 2 ln
1
e
x xdx
2/. (CĐSP Hà Nam A2004) T =
4 2tan
0
x xdx


ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 13
3/.(CĐ KTKT I - 2005) T = 2 3 5sin
0
xe xdx


4/.(CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T = ln21
e x dx
x

5/.(CĐ SP STrB 2005) T = 23 .sin
2sin 2 .cos0
x x dx
x x


6/. .(CĐ SP Vĩnh Long A05) T = ln
1
e
x xdx
7/. (CĐ CN Hà Nội 2005) T =
2
4
.cos .
0
x x dx


8/.(CĐ SP QNam05) T =
1
2 3
0
( 1)xx e x dx 
9/. (CĐ Y tế ThHoá05) T = ln2 25
0
xx e dx
10/. (ĐH Thuỷ Lợi 2001 - 2002) 4
104
0
ln(1 tan )T x dx

 
11/. (ĐH Luật, Dược 01-02) 10 2
107
1
lgT x xdx 
12/.      2
1
2
1
3
1
222
2
0
2
1
0
3 ln).46()ln)34())10ln())3())3() xdxxexdxxddxxxcdxexxbdxexa xx .
Bài toán 4. Tích phân của hàm số lượng giác
Ví dụ : Tính các tích phân sau
1)
32
2
0
6
tan .
; B
1 sin cos cos sin .cos
dx x dxA
x x x x x


     2)
3 4 3
0
6
tan .
; B ( cos sin ).
cos 2
x dxA x x dx
x


   
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 14
3) dxxx
x
dxxxA .2cos.sinB;
cos1
)sin( 22
0
2
4
0
 

4) ;
sin1
.cos.2
0
2 

x
dxxxA
Bài tập
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 15
1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
 
2
0
4
2
0
4 1cos
.2sinJ va;
sin1
.2sin

x
dxx
x
dxxI
2) (ĐHSP TPHCM 1995)
 Cho
xx
x
xf
cossin
sin)( 
a) Tìm A,B sao cho 




xx
xxBAxf
sincos
sincos)(
b) Tính  3
0
).(

dxxfI
3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
a) CMR  
2
0
44
42
0
44
4
sincos
.sin
sincos
.cos

xx
dxx
xx
dxx
b) Tính  
2
0
44
4
sincos
.cos

xx
dxxI
4) (ĐHTS 1999) Tính :   2
0
2
.)cos1.(cos.sin

dxxxxI
5) (ĐHTM HN 1995) Tính  4
0
4cos

x
dxI
6) (HVKTQS 1999):Tính  
4
0
4
3
cos1
.sin.4

x
dxxI
7) (ĐHNN1 HN Khối B 1998)  
2
0 cos1
.2cos

x
dxxI
8) (ĐHQGHN Khối A 1997)  
2
0
2
3
cos1
.sin

x
dxxI
9) (ĐHNN1 HN 1998) Tính  
2
6
.
cossin
.2cos2sin1


dx
xx
xxI
10) (ĐHQG TPHCM 1998)  2
0
23
.sin.cos

dxxxI
11) (HVNH TPHCM 2000)  
4
0
2cos1
.4sin

x
dxxI
ễn Thi tốt nghiệp tớch phõn Nguyễn Văn Trưởng
Trường THPT Lý Tự Trọng Trang 16
12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số 2)sin2(
2sin)(
x
x
xh 
a) Tìm A,B để
x
xB
x
xA
xh
sin2
cos.
)sin2(
cos.)( 2 
b) Tính 


0
2
).(

dxxhI
13) (ĐHBK HN 1998)   2
0
44 ).sin.(cos2cos

dxxxxI
14) (HVNH TPHCM 2000)   3
0
2cos
).sin(

x
dxxxI